Devoir surveillé n^o 3 de mathématiques en hypokhâgne B/L

Étude de fonction

On pose f(x) = (1 − e^−x)/x pour tout x ∈ R^∗.

1. En reconnaissant l'expression d'un taux d'accroissement, démontrer que la fonction f admet une limite finie en 0 et préciser sa valeur.
2. Démontrer que les variations de la fonction f sont déterminées par le signe de la fonction g : x ↦ (x + 1) e^−x − 1.
3. Déterminer les variations de g sur R en précisant sa valeur en 0.
4. Dresser le tableau de variations de f en précisant ses limites et éventuelles asymptotes à l'infini.
5. Démontrer que la fonction f admet un unique point fixe et que ce dernier appartient à l'intervalle [0 ; 1].
6. Tracer la courbe représentative de f.

Série harmonique

1. Démontrer que pour tout k ∈ N^∗ on a 1/(k+1) ≤ ln(k + 1) − ln(k) ≤ 1/k.
2. En déduire que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ 1/(k+1) ≤ ln(n + 1) ≤ ∑_k=1ⁿ 1/k.
3. En posant pour tout n ∈ N^∗, u_n = ∑_k=1ⁿ 1/k − ln(n), démontrer que la suite u est positive et décroissante.
4. Que peut-on en conclure ?

Approximation de pi

1. Rappeler la définition de la fonction tangente et ses valeurs en 0, π/6, π/4 et π/3.
2. Redémontrer que pour tout x ∈ R on a Arctan′(x) = 1/(1 + x²).
3. En déduire que pour tout x ∈ R⁺ on a x − x³/3 ≤ Arctan(x) ≤ x.
4. Utiliser les inégalités précédentes pour démontrer l'encadrement 2/3 ≤ π/4 ≤ 1 et en déduire un encadrement de π.
5. Donner de même un encadrement de π/6 et en déduire un nouvel encadrement de π.
   Ce nouvel encadrement permet-il de montrer l'inégalité π ≤ 3,2 ?

Polynôme à racines complexes

On veut factoriser le polynôme réel défini pour tout x ∈ R par P(x) = x⁴ + 6x² + 25.

1. Déterminer les solutions complexes de l'équation z² + 6z + 25 = 0.
2. Déterminer les expressions algébriques des racines carrées des solutions de l'équation précédente.
3. En déduire une factorisation de P sous la forme d'un produit de quatre expressions de degré 1.
4. Regrouper les facteurs conjugués pour obtenir un produit de deux polynômes réels de degré 2.
5. Déterminer aussi les solutions de l'équation P′(x) = 0.
6. Représenter graphiquement les points dont les affixes sont les racines de P et celles de P′.