Calcul d'un équivalent de suite ou de fonction

Par définition, si f et g sont deux fonctions définies au voisinage de aR et si on a f(x) = g(x) + oxa(g(x)) alors f(x) x→+∞ g(x).

En particulier, si une fonction a une limite réelle non nulle alors elle est équivalente à cette valeur : limxa f(x) = LR  ⇔  f(x) xa L.

Plus généralement, une somme algébrique de fonctions est équivalente à son terme prépondérant s'il y en a un, ce qui s'obtient parfois à l'aide des comparaisons de croissance : pour tout (p, q, k) ∈ (R+∗)3 tel que p < q on a ln(x) = ox→+∞ (xp), xp = ox→+∞ (xq) et xp = ox→+∞ (exp(kx)).

Un produit (ou un quotient) de fonctions est équivalent au produit (respectivement au quotient) de leurs équivalents.

On peut composer des équivalents à droite (c'est-à-dire effectuer un changement de variable) mais pas à gauche en général.

Expression polynomiale

Toute fonction polynomiale de la forme P : xk=0n ak xk avec an ≠ 0 est équivalente à son monôme de plus haut degré à l'infini : P(x) x→±∞ an xn.

Au contraire, toute fonction admettant un développement limité non nul en un réel aR est équivalente en a au premier terme non nul de la partie régulière.

Ainsi, si a est une racine de P avec un ordre de multiplicité k, la formule de Taylor pour les polynômes permet d'écrire P(x) xa P(k)(a)/k! (xa)k.