Méthodes de calcul avec les nombres complexes

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Opérations

L’addition, la soustraction et la multiplication des nombres complexes suivent les règles de calcul dans un corps commutatif (associativité, commutativité, distributivité) avec la règle i2 = −1.

Pour tout z = a + b i ∈ C, on peut calculer son conjugué z = a + b i = ab i et son module |z| = |a + b i| = a2 + b2. Attention, la partie imaginaire b est un réel !

On peut éviter d’avoir une partie imaginaire au dénominateur en multipliant les deux niveaux par le conjugué : pour tout z = a + b i ∈ C, 1/a + b i = ab i/a2 + b2.

En notation exponentielle, pour tout (ρ, θ, ρ′, θ′) ∈ R+ × R × R+ × R, on a ρ eiθ = ρ e−iθ, |ρ eiθ| = ρ, ρ eiθ × ρ′ eiθ′ = (ρ × ρ′) ei(θ+θ′) et si ρ′ ≠ 0, on a ρ eiθ/ρ′ eiθ′ = ρ/ρ′ ei(θθ′).

Les puissances d’exposant entier se calculent à partir de la forme algébrique avec la formule du binôme de Newton : (a + bi)n = k=0n (kn) ank bk ik où les puissances de i forment une suite 4-périodique avec i2 = −1, i3 = −i et i4 = 1.

À partir de la forme exponentielle, on peut utiliser la formule de De Moivre : pour tout (ρ, θ, n) ∈ R+ × R × Z, si ρ > 0 ou n ≥ 0, (ρ eiθ)n = ρn einθ.

Transformation

À partir de la forme exponentielle, il est facile de récupérer la forme algébrique via la forme trigonométrique : pour tout (ρ, θ) ∈ R+ × R, on a ρ eiθ = ρ cos(θ) + ρ sin(θ) i.

Inversement, à partir d’une forme algébrique z = a + b i ∈ C, on trouve directement le module ρ = |a + b i| et l’argument θ s’obtient ensuite en résolvant le système {ρ cos(θ) = aρ sin(θ) = b souvent à l’aide des valeurs remarquables en trigonométrie ou comme solution de l’équation tan(θ) = b/a.

En particulier, on a 1 = ei0, −1 = e et i = eiπ/2.

Racines

Les racines d’un nombre complexe s’obtiennent facilement à partir de la forme exponentielle : pour tout z = ρ eiθC, pour tout nN, le nombre z a n racines n-ièmes, de module nρ et d’argument θ + 2kπ/n, avec k ∈ [[0 ; n − 1]].

À partir de la forme algébrique, on peut trouver une expression des racines carrées de ω = a + b i ∈ C en résolvant le système {x2y2 = a2xy = bx2 + y2 = a2 + b2 avec (x, y) ∈ R2. Les première et troisième lignes permettent de trouver les carrés des composantes et la deuxième équation permet de préciser leur parité relative. On trouve donc deux solutions de la forme x + y i.