Exercices sur diagonalisation

Questions

  1. Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Lorsque cela est possible, diagonaliser la matrice.
  2. Diagonaliser les matrices M2 = 0111 et M3 = 001012111.
    BCE ESSEC 2010 problème 1 question IV.19
  3. À quelle condition sur mR la matrice 1m12 est-elle diagonalisable ?
  4. Soit nN et (a0, … , an−1) ∈ Rn. Quelles sont les valeurs propres de la matrice M triangulaire inférieure dont les coefficients s'écrivent ij,   Mi,j = aij ?
    ENS 2010 exercice II question 4
  5. La matrice A = 2−1110−1 2−4−1 est-elle diagonalisable dans R ? dans C ?
    ENS 2013 exercice 1 question 7
  6. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, montrer que λR est valeur propre de A = 2−5/41/4100 010 si et seulement si λ est racine du polynôme P = 4X3 − 8X2 + 5X − 1.
    Ecricome 2007 question 1.1.2
  7. Soit (p, q) ∈ [0 ; 1]2. La matrice P = p1 − pq1 − q est-elle diagonalisable ?
    ENS 2011 problème question A2.
  8. L'endomorphisme de Rn[X] défini par P ↦ (X2 + 1) × P″ − X P est-il diagonalisable ?
    Ecricome 2000 exercice 1 question 4

Problèmes

On pose M = −708414405 et J = −102111102 et on note I la matrice identité de taille 3.
  1. Montrer qu'il existe (a, b) ∈ R2 tel que M = aI + bJ.
  2. Montrer que J est diagonalisable et en déduire que M également.
  3. On note j l'endomorphisme représenté par M dans la base canonique de R3. Donner une matrice P de passage de la base canonique à une base B dans laquelle l'endomorphisme j est représenté par une matrice diagonale D.
  4. Pour tout nN, exprimer les coefficients de Dn puis ceux de Mn.
Ecricome 2001 problème II
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout (a, b) ∈ R2, on note Ma,b la matrice de 𝓜n(R) dont tous les coefficients diagonaux valent a et tous les autres coefficients valent b. En particulier, on pose I = M1,0 et J = M1,1.
  1. Justifier que le rang de J vaut 1 et indiquer une matrice colonne E1 qui engendre Im(J)
  2. Montrer que 𝓜n,1(R) = Ker(J) ⊕ Im(J).
  3. En déduire que J est diagonalisable et donner une base (E1, … , En) de vecteurs propres de J.
  4. Pour tout (a, b) ∈ R2, exprimer Ma,b en fonction de a, b, I et J.
    En déduire que ses valeurs propres sont λ = ab et μ = a + (n − 1)b.
    La matrice Ma,b est-elle diagonalisable ?
BCE ESSEC 2011 problème 2 partie I
On définit la matrice A = 1111.
  1. La matrice A est-elle diagonalisable ?
  2. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice C = tA A s'écrit Sp(C) = {λ, μ} avec 0 < λ < μ < 3.
  3. Déterminer un couple de matrices (P, D) ∈ 𝓜2(R)2 tel que C = PD tP avec P tP = I2 et D = λ00μ
ENS 2012 exercice I questions 4 à 7
Soit A une matrice carrée vérifiant la relation suivante : A2 + A − 6 I = 0.
  1. Quelles sont les valeurs propres possibles pour A ?
  2. La matrice 75−5102−52010−13 est-elle diagonalisable ?
Ecricome 2010 problème 1.3

Annales