Exercices de diagonalisation

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Énoncés

Exercice
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Lorsque cela est possible, diagonaliser la matrice.
Exercice
Diagonaliser les matrices M2 = [[0 ;1][1 ;1]] et M3 = [[0 ;0 ;1][0 ;1 ;2][1 ;1 ;1]].
BCE ESSEC 2010 problème 1 question IV.19
Exercice
La matrice A = [[2 ;−1 ;1][1 ;0 ;−1][2 ;−4 ;−1]] est-elle diagonalisable ?
ENS 2013 exercice 1 question 7
Exercice
Diagonaliser les matrices [[0 ;1 ;−2][1 ;0 ;1][−2 ;1 ;0]] et [[0 ;1 ;−1 ;−1][1 ;0 ;1 ;−1][−1 ;1 ;0 ;1][−1 ;−1 ;1 ;0]].
Exercice
À quelle condition sur mR la matrice [[1 ;m][1 ;2]] est-elle diagonalisable ?
Exercice
Soit (p, q) ∈ [0 ; 1]2. La matrice P = [[p ;1 − p][q ;1 − q]] est-elle diagonalisable ?
ENS 2011 problème question A2.
Exercice
L'endomorphisme φ ∈ L(Rn[x]) défini pour tout polynôme P par (φ(P))(x) = (x2 + 1) × P″(x) − x P′(x) est-il diagonalisable ?
Ecricome 2000 exercice 1 question 4
Exercice
Soit u un endomorphisme de Rn tel que u ≠ 0 mais u2 = 0.
Quelles sont les valeurs propres de u ? L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
ENS 2017 planche 7 exercice 1 question 2

Problèmes

Problème
Ecricome 2007 question 1.1.2
En utilisant la méthode du pivot de Gauss, montrer que λR est valeur propre de A = [[2 ;(−5)/(4) ;(1)/(4)][1 ;0 ;0][0 ;1 ;0]] si et seulement si λ est racine du polynôme P(x) = 4x3 − 8x2 + 5x − 1.
Vérifier que le polynôme P a une racine double. La matrice A est-elle diagonalisable ?
Problème
Ecricome 2010 problème 1.3
Soit A une matrice carrée vérifiant la relation suivante : A2 + A − 6 I = 0.
  1. Quelles sont les valeurs propres possibles pour A ?
  2. La matrice A= [[7 ;5 ;−5][10 ;2 ;−5][20 ;10 ;−13]] est-elle diagonalisable ?
Problème
ENS 2012 exercice I questions 4 à 7
On définit la matrice A = [[1 ;1][0 ;1]].
  1. La matrice A est-elle diagonalisable ?
  2. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice C = tA A s'écrit Sp(C) = {λ, μ} avec 0 < λ < μ < 3.
  3. Déterminer un couple de matrices (P, D) ∈ 𝓜2(R)2 tel que C = PD tP avec P tP = I2 et D = [[λ ;0][0 ;μ]].
Problème
Ecricome 2001 problème II
On pose M = [[−7 ;0 ;8][4 ;1 ;4][4 ;0 ;5]] et J = [[−1 ;0 ;2][1 ;1 ;1][1 ;0 ;2]] et on note I la matrice identité de taille 3.
  1. Montrer qu'il existe (a, b) ∈ R2 tel que M = aI + bJ.
  2. Montrer que J est diagonalisable et en déduire que M également.
  3. On note j l'endomorphisme représenté par M dans la base canonique de R3. Donner une matrice P de passage de la base canonique à une base B dans laquelle l'endomorphisme j est représenté par une matrice diagonale D.
  4. Pour tout nN, exprimer les coefficients de Dn puis ceux de Mn.
Problème
BCE ESSEC 2011 problème 2 partie I
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout (a, b) ∈ R2, on note Ma,b la matrice de 𝓜n(R) dont tous les coefficients diagonaux valent a et tous les autres coefficients valent b. En particulier, on pose I = M1,0 et J = M1,1.
  1. Justifier que le rang de J vaut 1 et indiquer une matrice colonne E1 qui engendre Im(J)
  2. Montrer que 𝓜n,1(R) = Ker(J) ⊕ Im(J).
  3. En déduire que J est diagonalisable et donner une base (E1, … , En) de vecteurs propres de J.
  4. Pour tout (a, b) ∈ R2, exprimer Ma,b en fonction de a, b, I et J.
    En déduire que ses valeurs propres sont λ = ab et μ = a + (n − 1)b.
    La matrice Ma,b est-elle diagonalisable ?
Problème
ENS 2017 planche 8 exercice 2 deuxième partie
Soit A ∈ ℳm,n(R) telle que AAT soit diagonalisable. On note X1, … , Xm une base de vecteurs propres de AAT, telle que les r premiers vecteurs soient associés aux valeurs propres non nulles.
  1. Montrer que (ATX1, … , ATXm) sont des vecteurs propres de ATA.
  2. Montrer que la famille (ATX1, … , ATXm) est libre.
  3. Montrer que la famille (ATX1, … , ATXm) peut être complétée en une base dans laquelle ATA est diagonale.
  4. Diagonaliser les matrices AAT et ATA lorsque A= [[1 ;−1 ;0][1 ;1 ;2]].
  5. Les matrices AAT et ATA ont-elles les mêmes valeurs propres ?
Problème
ENS 2017 planche 14 exercice 2
Soit u un endomorphisme diagonalisable de Rn.
Soit F un sous-espace vectoriel de Rn stable par u, c’est-à-dire que pour tout xF on a u(x) ∈ F.
  1. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn stable par u, montrer qu’il admet un supplémentaire G stable par u également. On pourra utiliser le théorème de la base incomplète avec une base bien choisie de Rn.
  2. On note λ1, … , λm les valeurs propres de u et E1, … , Em les espaces propres associés.
    On pose pour tout i ∈ ⟦1 ; m, Fi = FEi et Gi = GEi.
    Montrer que Ei = FiGi.
  3. Montrer que F = F1 ⊕ ⋯ ⊕ Fm et G = G1 ⊕ ⋯ ⊕ Gm.
  4. On définit û ∈ L(F) par û(x) = u(x) pour tout xF.
    Montrer que l’endomorphisme û ∈ L(F) est diagonalisable.
  5. Montrer qu’il existe un vecteur propre de u dans F.
Problème : Multiplication par une matrice diagonalisable
BCE HEC 2012

Dans tout l’exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 et A et B sont deux matrices de n(R) diagonalisables.

Pour tout M ∈ ℳn(R) on note tM sa transposée.

On définit trois endomorphismes de n(R), en posant pour tout M ∈ ℳn(R) par fA(M) = AM et gB(M) = MB, puis hA,B = fAgB.

    1. Soit λ une valeur propre de A et XRn un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
      Montrer que X tX est un vecteur propre de fA et donner la valeur propre associée.
    2. Soit θ une valeur propre de fA. Montrer que la matrice AθIn n’est pas inversible.
    3. Déduire de ce qui précède que Sp(A) = Sp(fA).
    4. Montrer que Sp(tB) = Sp(B). En déduire que Sp(B) = Sp(gB).
    1. Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé, μ une valeur propre de tB et Y un vecteur propre associé. Montrer que X tY est un vecteur propre de hA,B et donner la valeur propre associée.
    2. Soit β une valeur propre de hA,B et M un vecteur propre associé.
      Montrer, en utilisant le fait que B est diagonalisable, qu’il existe un vecteur propre V de B associé à une valeur propre μ tel que MV ≠ 0.
      En déduire qu’il existe un scalaire λ ∈ Sp(A) tel que β = λμ.
    3. Déduire de ce qui précède que Sp(hA,B) = {λμ, λ ∈ Sp(A), μ ∈ Sp(B)}.
    4. Démontrer l’équivalence suivante : Sp(A) ∩ Sp(B) = ∅ ⇔ hA,B est injective.
  1. Soit (X1, X2, … , Xn) une base de Rn et V un vecteur de Rn. On note pour tout j ∈ ⟦1 ; n, Xj = [[p1,j][p2,j][][pn,j]] et on pose P = (pi,j)1≤i,jn ∈ ℳn(R) avec V = [[v1][v2][][vn]].
    1. Déterminer en fonction des réels pi,j et vi, les éléments (l1, l2, … , ln) de la matrice tVP.
    2. En déduire qu’il existe une unique famille de vecteurs (Vi) dans Rn telle que pour tout i ∈ ⟦1 ; n, tVi Xi = 1 et pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n2 tel que ij, on ait tVi Xj = 0.
    3. En supposant que la base (X1, X2, … , Xn) est constituée de vecteurs propres de A, si (Y1, Y2, … , Yn) est une base constituée de vecteurs propres de B, montrer que la famille (Xi tYj)1≤i,jn constitue une base de n(R) et en déduire que hA,B est diagonalisable.
  2. Dans le cas où n = 2, A = [[1 ;2][4 ;3]] et B = [[1 ;1][1 ;1]], montrer que ces deux matrices sont diagonalisables et déterminer leurs vecteurs propres, puis en déduire une base de vecteurs propres pour hA,B en précisant les valeurs propres associées.

Annales

ENS 2017 planche 6 exercice 2
Condition de diagonalisabilité par les sous-espaces propres
ENS 2017 problème B
matrices compagnons, construction d’une matrice non diagonalisable
BCE ESSEC 2014
Diagonalisabilité d'une matrice admettant un polynôme annulateur scindé à racines simples en dimension 2 d'abord puis à l'aide d'une matrice de Vandermonde, réciproque, application à une matrice circulante.
BCE HEC 2010
Processus stochastique markovien de l'évolution du nombre de boules dans une urne à l'aide de tirages à pile ou face.