Complétude de l'ensemble des nombres réels

Complétude
Racine carrée
Approximation

L'analyse des suites et des fonctions réelles s'appuie sur les notions de limite et de continuité, qui elles-mêmes reposent sur la propriété de la borne supérieure. Cette propriété permet notamment de justifier l'utilisation des racines carrées sur des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits. La représentation des réels qui ne sont pas rationnels impose en effet l'emploi de symboles supplémentaires et en général, on ne peut en donner que des approximations.

Bornes supérieure et inférieure

Formulation

Soit A une partie de R et m ∈ R. On dit que m est une borne supérieure pour A si m est le plus petit des majorants de A. Dans ce cas, on note m = sup A.

L’ensemble R est complet, c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété suivante.

Propriété de la borne supérieure: Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supérieure.

On en déduit la propriété duale.

Soit A une partie de R et m ∈ R. On dit que m est une borne inférieure pour A si m est le plus grand des minorants de A. Dans ce cas, on note m = inf A.

Toute partie non vide minorée dans R admet une borne inférieure.

Soit A une partie minorée non vide de R.

On note B l’ensemble de ses minorants. Par construction, tout élément de A est donc supérieur à tout élément de B.

Par définition, l’ensemble B est non vide et il existe au moins un élément de A qui majore B. D’après la propriété précédente, l’ensemble B admet une borne supérieure que l’on peut noter s.

Tout élément a ∈ A majore B donc vérifie a ≥ s. Donc s est bien un minorant de A.

Soit b un minorant de A. Par définition, on a b ∈ B donc b ≤ s. Finalement, s est bien le plus grand des minorants de A.

En particulier, ces propriétés permettent de démontrer le résultat suivant.

Soit A une partie de R satisfaisant la propriété suivante : pour tout (x, y, z) ∈ R³, si x ∈ A et z ∈ A avec x ≤ y ≤ z alors y ∈ A. Alors A est un intervalle s'écrivant sous l'une des formes standard.

Caractère archimédien

La complétude intervient de façon essentielle dans les propriétés suivantes.

L'ensemble N n'est pas majoré dans R.

On raisonne par l'absurde.

Supposons que N soit majoré dans R. Comme il est non vide, il admet une borne supérieure que l’on peut noter s. Donc le réel s−1 n’est pas un majorant de N donc il existe un entier n tel que n > s − 1 d'où n + 1 > s ce qui est contradictoire avec la définition de s.

Caractère archimédien de R: Pour tout M ∈ R⁺, pour tout δ ∈ R^∗+, il existe n ∈ N tel que nδ > M.

Soient M ∈ R⁺ et δ ∈ R^∗+.

Il existe n ∈ N tel que n > M/δ donc nδ > M.

Racine carrée

Définition

Pour tout x ∈ R₊ il existe un unique r ∈ R₊ tel que r² = x.

La propriété est vraie pour x = 0.
Soit x ∈ R^∗+.

On pose A = {t ∈ R : t² ≤ x}.

On a (1 + x)² = 1 + 2x + x² > x donc pour tout t ∈ A, on a t² ≤ (1 + x)² donc t ≤ 1 + x donc l'ensemble A est majoré.

Or A est non vide car il contient 0, donc il admet une borne supérieure, que l'on note r.

Pour tout n ∈ N*, on a r + 1/n > r donc r + 1/n ∉ A donc x < (r + 1/n)² = r² + 2r/n + 1/n² < r² + 3r/n. Donc x − r² ≤ inf{3r/n, n ∈ N*} = 0.

De même, pour tout n ∈ N* tel que n > 1/r, on a r − 1/n < r donc il existe t ∈ A tel que r − 1/n < t d'où (r − 1/n)² < t² ≤ x donc x > r² − 2r/n + 1/n² > r² − 2r/n. Donc x − r² ≥ sup{−2r/n, n ∈ N*} = 0.

Finalement, on trouve bien x = r².

L'unicité vient de l'équivalence r₁ = r₂ ⇔ r₁² = r₂²

Pour tout x ∈ R⁺, l'unique réel r ∈ R⁺ tel que r² = x est appelé racine carrée de x et noté √x.

En particulier, on a √0 = 0 et √1 = 1.

Opérations sur les radicaux: Pour tout (a, b) ∈ (R⁺)² on a √(a × b) = √a × √b puis pour tout n ∈ N, √(aⁿ) = (√a)ⁿ et si b > 0, √(a/b) = √a / √b
Inégalités avec les radicaux: Pour tout (a, b) ∈ (R⁺)², on a l'équivalence a ≤ b ⇔ √a ≤ √b.
Pour tout a ∈ ]0 ; 1[, on a √a > a
et pour tout a ∈ ]1 ; +∞[, on a √a < a.

Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré à coefficients réels en la variable x est une expression s'écrivant sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont trois réels indépendants de x. Dans ce cas, le réel Δ = b² − 4ac est appelé discriminant du trinôme.

L'équation ax² + bx + c = 0 d’inconnue x est alors appelée équation du second degré et ses solutions sont les racines du trinôme.

On distingue trois cas.

Si Δ > 0, le trinôme se factorise sous la forme a(x + b/2a + √Δ/2a) (x + b/2a − √Δ/2a) et il y a exactement deux racines réelles distinctes qui sont −b − √Δ/2a et −b + √Δ/2a.
Si Δ = 0, le trinôme se factorise en a(x + b/2a)² et il a une seule racine réelle qui est −b/2a.
Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle.

Soit (a, b, c) ∈ R* × R². On note Δ = b² − 4ac.

Pour tout x ∈ R on a ax² + bx + c = a(x² + b/a x + c/a) = a((x + b/2a)² − b²/4a² + 4ac/4a²)
= a((x + b/2a)² − Δ/4a²) dont la dernière forme est appelée forme canonique et on se ramène bien à l'un des trois cas suivants.

Si Δ > 0, les identités remarquables aboutissent à la factorisation annoncée.
Si Δ = 0, la forme canonique est déjà factorisée.
Si Δ < 0, alors pour tout x ∈ R on a ((x + b/2a)² − Δ/4a²) ≥ −Δ/4a² > 0 donc l’équation n’a pas de solution réelle.

Approximation

Principe général

Soit (x, α, ε) ∈ R² × R^∗+. On dit que x est une valeur approchée de α avec une précision inférieure à ε si on a |x − α| ≤ ε. La valeur approchée est dite par défaut si x ≤ α et par excès si x ≥ α.

L'erreur absolue de x par rapport à α est le nombre |x − α|. Si α ≠ 0, l'erreur relative de x par rapport à α est le quotient |(x − α)/α|.

Si x et y sont des approximations respectives de α et β avec des erreurs absolues respectives ε et η, alors x+y et x−y sont des approximations respectives de α+β et α−β avec des erreurs absolues inférieures à ε+η.
Si x et y sont des approximations respectives des réels non nuls α et β avec des erreurs relatives respectives ε et η, alors x×y est une approximation de α×β avec une erreur relative inférieure à ε+η+εη.
Si x est une approximation (non nulle) de α ≠ 0 avec une erreur relative ε < 1, alors 1/x est une approximation de 1/α avec une erreur relative inférieure à ε/(1 −ε).

Approximation entière

Tout réel est compris entre deux entiers relatifs.

Soit x ∈ R. On distingue deux cas.

Si x ≥ 0 alors d’après le caractère archimédien il existe n ∈ N tel que n ≥ x donc on a 0 ≤ x ≤ n.
Si x ≤ 0 alors −x ≥ 0 donc comme dans le cas précédent il existe n ∈ N tel que n ≥ −x et on obtient −n ≤ x ≤ 0.

Ceci permet de montrer que pour tout x ∈ R l’ensemble A = {k ∈ Z : k ≤ x} est non vide et majoré dans Z donc admet un plus grand élément.

Pour tout x ∈ R on appelle partie entière de x et on note E(x) ou [x] le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Pour tout a ∈ Z, pour tout x ∈ [a, a + 1[ on a E(x) = a.

Pour tout x ∈ R, on a E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Cette définition permet de démontrer facilement les deux propriétés suivantes.

Division euclidienne: Pour tout (a, b) ∈ R×R^∗+, il existe un unique (q, r) ∈ Z×R tel que a = b×q + r et 0 ≤ r < b.

Soit (a, b) ∈ R×R^∗+.

On pose q = E(a/b). Alors on a q ≤ a/b < q + 1 donc bq ≤ a < b(q + 1) donc 0 ≤ a − bq < b.

Par conséquent, en posant r = a − bq on a l’existence du quotient euclidien et du reste.

Supposons qu’il existe un autre couple (q′, r′) ∈ Z×R tel que a = b×q′ + r′ et 0 ≤ r′ < b.
Alors on trouve b×q + r = b×q′ + r′ donc b×(q − q′) = r′ − r donc l’entier q − q′ est égal à r′ − r/b.

Mais les inégalités 0 ≤ r′ < b et −b < −r ≤ 0 impliquent les inégalités −b < r′ − r < b donc −1 < r′ − r/b < 1.

Le seul entier strictement compris entre −1 et 1 étant 0, on en déduit q = q′ donc par soustraction, r′ = r.

Finalement, le quotient euclidien et le reste sont uniques.

Approximation décimale

Pour distinguer les réels, l'approximation entière peut ne pas être suffisante mais les rationnels sont suffisamment dispersés pour ce faire.

Densité des rationnels dans R: Pour tout (x, y) ∈ R² tel que x < y, il existe r ∈ Q tel que x < r < y.

Soit (x, y) ∈ R² tel que x < y.

On a y − x > 0 donc 1/y − x > 0 donc il existe n ∈ N* tel que n > 1/y − x d’où 1/n < y − x.

On note ensuite q le quotient euclidien de la division de x par 1/n et on trouve x < q+1/n mais y > x + 1/n > q+1/n.

En pratique, on peut même se restreindre aux décimaux, qui sont des quotients d'un entier par une puissance de 10.

Pour tout (x, k) ∈ R × Z il existe un unique p ∈ Z tel que p × 10^k ≤ x < (p + 1) × 10^k.
Les nombres p × 10^k et (p + 1) × 10^k sont alors respectivement appelés approximation décimale par défaut et par excès de x à 10^k près.

Compétences

Factoriser une expression du second degré, voire résoudre des équations bicarrées
Comparer des expressions avec des radicaux