Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en HKBL

Travail personnel
Exercices 2 et 3 pour lundi 18, Exercices 4 et 7 pour mardi 19
Démonstrations de cours en début de colle
Inégalité triangulaire pour les intégrales
Inégalités de la moyenne
Intégration par parties
Espérance de la loi uniforme discrète
Espérance de la loi de Bernoulli
Formule de Koenig-Huygens
Programme de colles
Exercices d’intégration de fonction continue sur un segment. Les changements de variables doivent être indiqués (sauf éventuellement les changements affines). Les sommes de Riemann ne sont pas au programme.
Exercices sur les variables aléatoires discrètes sur un univers fini : détermination de lois simples, calcul d’espérance ou de variance
Cours
Variable aléatoire sur un univers fini
Soutien
Probabilités
TD
Exercices sur les variables aléatoires

Travail personnel
Exercices 5, 6, 7, 8 de calcul d’intégrales pour lundi 11, exercices 19 et 20 pour mardi 12
Devoir non surveillé no 2 pour le jeudi 21 mars.
Démonstrations de cours en début de colle
Formule de Bayes
Formule des probabilités totales avec probabilités conditionnelles
Formule des probabilités composées
Inégalité triangulaire pour les intégrales
Inégalités de la moyenne
Intégration par parties
Programme de colles
Exercices de probabilités (sans variables aléatoires pour le moment)
Exercices d’intégration de fonction continue sur un segment. Les changements de variables doivent être indiqués (sauf éventuellement les changements affines). Les sommes de Riemann ne sont pas au programme.
Questions de cours supplémentaires
Relation de Chasles pour les intégrales, linéarité de l’intégrale, valeur moyenne, théorème fondamental de l’analyse, changement de variable pour une intégrale,
Cours
Variable aléatoire sur un univers fini
Soutien
Probabilités
TD
Exercices sur les variables aléatoires

Travail personnel
Exercices 7 et 12 de probabilités pour lundi 4, problème 1 pour mardi 5
Démonstrations de cours en début de colle
Série harmonique
Théorème de comparaison pour les séries
Série géométrique dérivée
Formule de Bayes
Formule des probabilités totales avec probabilités conditionnelles
Formule des probabilités composées
Programme de colles
Détermination de la convergence de séries à termes positifs à l’aide du théorème de comparaison (les équivalents sont hors programme) et calcul de sommes pour des séries téléscopiques ou des combinaisons de séries de référence (géométriques, dérivées et exponentielles).
Exercices de probabilités (sans variables aléatoires pour le moment)
Questions de cours supplémentaires
Système complet d’évènements, probabilité conditionnelle, indépendance de deux évènements
Cours
Intégration de fonction sur un segment
Soutien
Dérivée et primitives
TD
Exercices d’intégration

Travail personnel
Exercice 4 sur la série de terme général (1)/(n3n) pour lundi 25, exercice 8 sur le reste de la série exponentielle pour mardi 26
Démonstrations de cours en début de colle
Structure de sous-espace vectoriel pour le noyau et l’image
Caractérisation de l’injectivité pour une application matricielle
Majoration du rang pour le produit de matrices
Série harmonique
Théorème de comparaison pour les séries
Série géométrique dérivée
Programme de colles
Exercices de détermination du noyau et de l’image avec calcul des dimensions associées pour des matrices explicites.
Détermination de la convergence de séries à termes positifs à l’aide du théorème de comparaison (les équivalents sont hors programme) et calcul de sommes pour des séries téléscopiques ou des combinaisons de séries de référence (géométriques, dérivées et exponentielles).
Questions de cours supplémentaires
Critère de convergence pour les séries de Riemann, critère de D’Alembert, série exponentielle
Cours
Probabilités
Soutien
Dénombrement et probabilités
TD
Exercices de probabilités

Travail personnel
Exercice 18 sur le rang du produit d’une matrice avec sa transposée pour lundi 4, exercices 13 et 14 sur les suites adjacentes pour mardi 5
Démonstrations de cours en début de colle
Limite d’une suite géométrique
Comparaison de croissance entre puissances, géométrique et factorielle
Convergence des suites adjacentes
Structure de sous-espace vectoriel pour le noyau et l’image
Caractérisation de l’injectivité pour une application matricielle
Majoration du rang pour le produit de matrices
Programme de colles
Exercices d’analyse avec des fonctions trigonométriques : démonstration d’inégalités, analyse sur un segment. La recherche de période doit être guidée. Les équations trigonométriques peuvent être abordées en complément avec indications. La fonction arctan est au programme mais pas arcsin ni arccos, qui ont à peine été évoquées en hors-programme.
Exercices de détermination du noyau et de l’image avec calcul des dimensions associées pour des matrices explicites.
Questions de cours supplémentaires
Composée d’applications matricielles, théorème du rang, matrices équivalentes
Cours
Séries numériques à termes positifs
Soutien
Révision suites
TD
Exercices sur les séries

Travail personnel
Exercice 10 sur la série harmonique pour lundi 28, exercices 34 et 37 sur les fonctions trigonométriques pour mardi 29
Démonstrations de cours en début de colle
Terme général d’une suite arithmétique ou géométrique (au choix du colleur)
Variations d’une suite définie par une fonction de récurrence croissante
Caractère borné d’une suite convergente
Limite d’une suite géométrique
Comparaison de croissance entre puissances, géométrique et factorielle
Convergence des suites adjacentes
Programme de colles
Exercices d’analyse de suite : expression de terme général par récurrence, détermination du terme général pour une suite arithmético-géométrique, détermination des variations, démonstration du caractère borné ou non, calcul de limite lorsqu’il se ramène à la limite d’une fonction ou à l’aide des points fixes d’une fonction de récurrence.
Exercices d’analyse avec des fonctions trigonométriques : démonstration d’inégalités, analyse sur un segment. La recherche de période doit être guidée. Les équations trigonométriques peuvent être abordées en complément avec indications. La fonction arctan est au programme mais pas arcsin ni arccos, qui ont à peine été évoquées en hors-programme.
Cours
Applications matricielles
Soutien
Révision vecteurs et matrices
TD
Exercices sur les applications matricielles

Travail personnel
Exercices 5 et 6 sur les suites pour lundi 21, problème 4 (HEC 2012) pour mardi 22
Démonstrations de cours en début de colle
Transposée du produit
Trace du produit
Décomposition d’une matrice en somme d’une symétrique et d’une antisymétrique
Terme général d’une suite arithmétique ou géométrique (au choix du colleur)
Variations d’une suite définie par une fonction de récurrence croissante
Caractère borné d’une suite convergente
Programme de colles
Exercices de calcul matriciel : opérations algébriques, détermination de l’inversibilité et calcul d’inverse, résolution d’équations matricielles linéaires (commutant par exemple). Le déterminant n’est au programme que pour les matrices de taille 2.
Exercices d’analyse de suite : expression de terme général par récurrence, détermination du terme général pour une suite arithmético-géométrique, détermination des variations, démonstration du caractère borné ou non, calcul de limite lorsqu’il se ramène à la limite d’une fonction. L’utilisation des théorèmes de convergence n’a pas encore été détaillée en classe (convergence monotone notamment).
Cours
Limite de suite : convergence monotone, comparaison de croissance avec la factorielle
Trigonométrie
Soutien
Étude de suites
TD
Exercices sur les limites de suites réelles

Travail personnel
Exercice 14 (ENS 2014 planche 11) sur les puissances de matrices pour lundi 14 janvier, exercice 13 sur l’inversion de matrices pour mardi 15
Démonstrations de cours en début de colle
Comparaison de croissance entre puissance et exponentielle en +∞
Comparaison de croissance entre puissance et logarithme en +∞
Théorème des accroissements finis
Transposée du produit
Trace du produit
Décomposition d’une matrice en somme d’une symétrique et d’une antisymétrique
Programme de colles
Exercices de calcul matriciel : opérations algébriques, détermination de l’inversibilité et calcul d’inverse, résolution d’équations matricielles linéaires (commutant par exemple). Le déterminant n’est au programme que pour les matrices de taille 2.
Exercices d’analyse de fonction avec calcul de limites et utilisation des fonctions exponentielle et logarithme, puissances d'exosant réel, utilisation des théorèmes d'analyse globale (valeurs intermédiaires, bornes, accroissements finis). Le développement limité n’est pas encore au programme au delà de l’ordre 1.
Questions de cours supplémentaires
Inverse du produit de 2 matrices inversibles, déterminant et formule de l’inverse pour les matrices de taille 2
Cours
Suites et limite de suite
Soutien
Calcul matriciel
TD
Exercices sur les suites réelles

Travail personnel
Problème 7 sur le plus court segment tangent pour mardi 8 janvier
Démonstrations de cours en début de colle
Caractérisation de la fonction exponentielle
Exponentielle de la somme
Puissance d’une exponentielle
Comparaison de croissance entre puissance et exponentielle en +∞
Comparaison de croissance entre puissance et logarithme en +∞
Théorème des accroissements finis
Programme de colles
Exercices d’analyse de fonction avec calcul de limites et utilisation des fonctions exponentielle et logarithme, puissances d'exosant réel, utilisation des théorèmes d'analyse globale (valeurs intermédiaires, bornes, accroissements finis). Le développement limité n’est pas encore au programme au delà de l’ordre 1.
Questions de cours supplémentaires
Puissance d'exposant réel, exponentielle et logarithme en base a, limites des fonctions puissances
Théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes, inégalités des accroissements finis
Cours
Matrices
Soutien
Calcul matriciel, vecteurs de composantes réelles
TD
Exercices de calcul matriciel

Pas de colle ni de cours pour cause de semaine culturelle. Les colles et les cours reprendront à la rentrée de janvier.

Pas de colle ni de cours pour cause de premier concours blanc.

Travail personnel
Problème 6 (ENS 2011) pour lundi 3 décembre
Problème 10 (ENS 2004) pour mardi 4 décembre
Problème 13 (Écricome 2008) pour jeudi 6 décembre
Démonstrations de cours en début de colle
Dérivée de la racine carrée
Dérivée du produit
Dérivée des fonctions puissances
Caractérisation de la fonction exponentielle
Exponentielle de la somme
Puissance d’une exponentielle
Programme de colles
Exercices d’analyse de fonction avec calcul de limites et utilisation des fonctions exponentielle et logarithme. La puissance d’exposant réel et les comparaisons de croissance ont été évoquées mais pas encore formellement intégrées au cours. Il est possible d’y recourir en exercice quitte à rappeler les formules correspondantes. Le développement limité n’est pas encore au programme au delà de l’ordre 1.
Questions de cours supplémentaires
Asymptote horizontale ou verticale
Cours
Exponentielle et logarithme : exponentiation et comparaison de croissance
Analyse globale
Soutien
Calcul de limites, calcul avec exponentielle et logarithme
TD
Exercices d’étude de fonction avec limites, exponentielle et logarithme

Travail personnel
problème 8 pour lundi 26 novembre
Problème 11 (Ecricome 2011) pour mardi 27 novembre
Exercice sur les fonctions hyperboliques pour jeudi 29 novembre
Démonstrations de cours en début de colle
Caractérisation des bases par la décomposition de vecteurs
Limite du produit
Continuité de la valeur absolue en 0
Dérivée de la racine carrée
Dérivée du produit
Dérivée des fonctions puissances
Programme de colles
Exercices d’analyse de fonction avec étude de la continuité et dérivée. Les limites infinies et limites à l’infini n’ont pas été encore abordées.
Questions de cours supplémentaires
Formules de dérivation (fonctions de référence, opérations, composée, réciproque), point critique, développement limité à l’ordre 1
Cours
Analyse asymptotique
Exponentielle et logarithme (sauf exponentiation et comparaison de croissance)
Soutien
Calcul de limites
TD
Exercices d’étude de fonction avec limites

Chaque colle commencera par la demande du tableau de variations (sans limites) et l’allure de la courbe de l’une des premières fonctions de réference : identité, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme.

Travail personnel
Exercices 16 sur les familles de vecteurs et problème 1 sur la fonction définie par morceaux pour lundi 19 novembre
Problème 5 (Ecricome 2012) pour mardi 20 novembre
Problème 7 pour jeudi 22 novembre
Démonstrations de cours en début de colle
Caractérisation des bases par la décomposition de vecteurs
Limite du produit
Continuité de la valeur absolue en 0
Programme de colles
Résolution de systèmes d’équations linéaire avec la méthode du pivot de Gauss, décomposition d’un vecteur de Rn sur une famille, démonstration qu’une famille de vecteurs est libre dans Rn, recherche d’une base pour un espace vectoriel engendré ou pour l’ensemble des solutions d’un système homogène, expression de la dimension
Exercices d’analyse de fonction avec étude de la continuité lorsque la fonction est définie par morceaux. La dérivée n’a pas été revue en détail.
Questions de cours supplémentaires
Famille génératrice, famille libre, théorème de la base incomplète, dimension
Théorème d’encadrement pour les limites de fonction en un réel
Cours
Analyse locale : dérivée, étude locale
Soutien
Calcul de dérivée
TD
Exercices d’étude de fonction avec dérivée

Chaque colle commencera par la demande du tableau de variations (sans limites) et l’allure de la courbe de l’une des premières fonctions de réference : identité, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme.

Travail personnel
Exercices de résolution de systèmes linéaires
Démonstrations de cours en début de colle
Longueur d’une famille libre dans Rn
Sous-espace vectoriel engendré
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Programme de colles
Résolution de systèmes d’équations linéaire avec la méthode du pivot de Gauss, décomposition d’un vecteur de Rn sur une famille, démonstration qu’une famille de vecteurs est libre dans Rn. La notion de famille génératrice n’a pas encore été abordée.
Exercices d’analyse de fonction : étude de domaine, de détermination de la parité, de recherche de points fixes, de position relative de deux courbes, d’analyse des variations par composée de fonctions de référence ou par dérivation si l’expression est suffisamment simple (sommes, produits, et quotients de fonctions de référence, sans composée). La dérivée n’a pas été revue en détail.
Cours
Vecteurs de composantes réelles : famille génératrice, base, coordonnées, dimension
Analyse locale : notion de limite finie en un réel, continuité
Soutien
Résolution de systèmes
TD
Exercices sur les vecteurs de composantes réelles

Chaque colle commencera par la demande du tableau de variations (sans limites) et l’allure de la courbe de l’une des premières fonctions de réference : identité, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme.

Travail personnel
Exercices sur les systèmes linéaires
Démonstrations de cours en début de colle
Caractérisation des fonctions bornées
Composée de fonctions monotones
Composée de deux fonctions injectives
Longueur d’une famille libre dans Rn
Sous-espace vectoriel engendré
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Programme de colles
Exercices d’analyse de fonction : étude de domaine, de détermination de la parité, de recherche de points fixes, de position relative de deux courbes, d’analyse des variations par composée de fonctions de référence ou par dérivation si l’expression est suffisamment simple (sommes, produits, et quotients de fonctions de référence, sans composée). La dérivée n’a pas été revue en détail.
Résolution de systèmes d’équations linéaire avec la méthode du pivot de Gauss, décomposition d’un vecteur de Rn sur une famille, démonstration qu’une famille de vecteurs est libre dans Rn. La notion de famille génératrice n’a pas encore été abordée.
Questions de cours supplémentaires
Colinéarité, famille libre, sous-espace vectoriel
Cours
Annulés pour cause d’absence
Devoir
Devoir surveillé no 2

Chaque colle commencera par la demande du tableau de variations (sans limites) et l’allure de la courbe de l’une des premières fonctions de réference : identité, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme.

Travail personnel
Exercices sur les fonctions
Démonstrations de cours en début de colle
Factorisation d’un trinôme du second degré
Inégalité triangulaire
Équation d’une droite passant par deux points distincts
Caractérisation des fonctions bornées
Composée de fonctions monotones
Composée de deux fonctions injectives
Programme de colles
Exercices de résolution d’équation ou d’inéquation avec radical ou valeur absolue
Exercices de détermination d’équation de droite, tracé, détermination de points d’intersection par la résolution de système linéaire de deux équations à deux inconnues, sans paramètre d’abord (puis avec si facilités)
Exercices d’analyse de fonction : étude de domaine, de détermination de la parité, de recherche de points fixes, de position relative de deux courbes, d’analyse des variations par composée de fonctions de référence ou par dérivation si l’expression est suffisamment simple (sommes, produits, et quotients de fonctions de référence, sans composée). La dérivée n’a pas été revue en détail.
Questions de cours supplémentaires
Point fixe, parité d’une fonction, variations, intervalle stable, fonction injective
Cours
Vecteurs de composantes réelles: structure, colinéarité, combinaison linéaire, famille libre, sous-espace vectoriel
Soutien
Résolution de systèmes
TD
Exercices sur les vecteurs et systèmes d’équations linéaires

Travail personnel
Exercice sur la valeur absolue
Démonstrations de cours en début de colle
Somme géométrique
Formule du binôme de Newton
Valeur du minimum et absence de maximum pour l’intervalle [0 ; 1[
Factorisation d’un trinôme du second degré
Inégalité triangulaire
Équation d’une droite passant par deux points distincts
Programme de colles
Exercices avec sommes et coefficients binomiaux, utilisation de la formule du binôme
Exercices de résolution d’équation ou d’inéquation avec radical ou valeur absolue
Exercices de détermination d’équation de droite, tracé, détermination de points d’intersection par la résolution de système linéaire de deux équations à deux inconnues, sans paramètre d’abord (puis avec si facilités)
Questions de cours supplémentaires
Propriété de la borne supérieure, signe d’un trinôme du second degré, valeur absolue
Cours
Fonctions : domaine, courbe, parité, périodicité, variations, image, bornes, composition, injectivité
Soutien
Résolution de systèmes et étude de fonction
TD
Exercices sur les équations de droite et résolution de système linéaire de deux équations à deux inconnues
Exercices d’étude de fonction

Travail personnel
Exercice sur la majoration et minoration d’un ensemble de réels
Démonstrations de cours en début de colle
Formule de Pascal et construction des 6 premières lignes du triangle de Pascal
Expression des coefficients binomiaux avec la factorielle
Nombres triangulaires : pour tout nN, k=1n k = (n(n+1))/(2)
Somme géométrique
Formule du binôme de Newton
Valeur du minimum et absence de maximum pour l’intervalle [0 ; 1[
Programme de colles
Résolution d’équations et d’inéquations se ramenant au second degré, avec symbole radical
Exercices de dénombrement à partir de listes ou de combinaisons, la notion d’arrangement n’est plus explicitement au programme mais certains calculs peuvent être menés en explicitant les choix successifs.
Exercices avec sommes et coefficients binomiaux, utilisation de la formule du binôme
Calculs de coefficients binomiaux
Questions de cours supplémentaires
Identités remarquables, majoration, minoration et extremum, bornes supérieure et inférieure
Cours
Nombres réels : racine carrée et valeur absolue
Droites du plan en géométrie analytique et systèmes d’équations linéaires à deux inconnues
Soutien
Exercices de calcul, algèbre, récurrence et dénombrement
TD
Résolution d’équations et inéquations avec la valeur absolue
Devoir
Devoir non surveillé no 1 pour le

Travail personnel
Exercices de résolution d’inéquations (sans valeur absolue) et de dénombrement (groupes d’élèves et jeux)
Démonstrations de cours en début de colle
Formule de Pascal et construction des 6 premières lignes du triangle de Pascal
Expression des coefficients binomiaux avec la factorielle
Nombres triangulaires : pour tout nN, k=1n k = (n(n+1))/(2)
Raisonnement par récurrence : montrer que pour tout a, b, n entiers, on a (ab)n = anbn
Raisonnement par disjonction de cas : montrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair
Raisonnement par l’absurde : montrer que tout entier naturel impair s’écrit sous la forme 2k + 1
Programme de colles
Démonstrations par récurrence, notamment avec le symbole somme.
Résolution d’équation se ramenant au second degré, sans symbole radical d’abord, et résolution d’inéquation en cas de facilités.
Exercices de dénombrement à partir de listes ou de combinaisons, la notion d’arrangement n’est plus explicitement au programme mais certains calculs peuvent être menés en explicitant les choix successifs.
Calculs de coefficients binomiaux
Questions de cours supplémentaires
Dénombrement : cardinal de la réunion, cardinal du produit cartésien, combinaisons
Cours
Nombres réels : opérations, propriétés algébriques des symboles somme et produit, inégalités de comparaison (sans inégalité de Bernoulli), intervalles, majoration et minoration, extremum et bornes supérieure et inférieure
Soutien
Exercices de calcul, algèbre, récurrence et dénombrement
TD
Exercices de dénombrement et manipulation des réels

Travail personnel
Exercices de résolution d’équations et inéquations
Démonstrations de cours en début de colle
Raisonnement par récurrence : montrer que pour tout a, b, n entiers, on a (ab)n = anbn
Raisonnement par disjonction de cas : montrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair
Raisonnement par l’absurde : montrer que tout entier naturel impair s’écrit sous la forme 2k + 1
Programme de colles
Démonstrations par récurrence, notamment avec le symbole somme.
Résolution d’équation se ramenant au second degré, sans symbole radical d’abord, et résolution d’inéquation en cas de facilités.
Questions de cours supplémentaires
Entiers naturels : division euclidienne
Ensembles : produit cartésien
Cours
Ensembles : parties et opérations ensemblistes
Dénombrement
Soutien
Exercices de calcul et algèbre
TD
Exercices de dénombrement
Devoir
Devoir surveillé no 1 le

Vendredi, les élèves sont en week-end de rentrée.

Travail personnel
Exercice 2 sur le symbole somme
Exercice de calcul no 1 sur les fractions
Exercices d’algèbre no 1 et 2 sur le développement et la factorisation
Questions de cours
Rappels : règles sur les puissances
Logique : réciproque et contraposée, lois de De Morgan, négation de l’implication
Entiers naturels : commutativité, associativité, distributivité, règles sur les puissances
Cours
Entiers naturels : relation d’ordre et divisibilité
Ensembles : notations, ensembles de nombres
Soutien
Exercices de calcul et algèbre
TD
Exercices de récurrence sur le symbole somme

Lundi, la journée est banalisée pour l’accueil des élèves.

Cours
Logique : prédicat, connecteurs, contraposée et réciproque, variable et quantificateurs
Distribution des fiches mémos rappels de lycée et logique et ensembles
Entiers naturels : propriétés des opérations arithmétiques, principe de récurrence, symbole somme
Distribution de la fiche mémo nombres
TD
Exercices de logique

Avant la rentrée

Les élèves peuvent réviser les bases du calcul sur les entiers et les fractions et de l’algèbre élémentaire et consulter le programme de mathématiques. Une fiche récapitulative de propriétés numériques à connaitre pour le baccalauréat permet de vérifier ses acquis et de combler ses lacunes éventuelles.

Il n’y a pas de matériel obligatoire mais l’assiduité en classe implique a minima une prise de notes donc du matériel d’écriture efficace. Chaque élève est donc supposé disposer à chaque séance d’un stylo à encre (effaçable ou non), de crayons gris et de quelques couleurs, d’une règle, de feuilles pour le cours et pour les interrogations écrites. Pour les exercices, il est vivement recommandé de se munir d’un cahier grand format, permettant la réalisation de figures soignées et le suivi d’une séance à l’autre.

Les calculatrices sont sans utilité car interdites au concours. L’usage d’un ordinateur portable (a fortiori sous forme de tablette ou de téléphone) n’est a priori pas adaptée à la prise de notes de mathématiques en classe.