Rappels de mathématiques du lycée

Opérations élémentaires

Propriétés axiomatiques
Associativité : ∀ (a, b, c) ∈ R3, (a + b) + c = a + (b + c) ; (a × b) × c = a × (b × c)
Commutativité : ∀ (a, b) ∈ R2, a + b = b + a ; a × b = b × a
Distributivité : ∀ (a, b, c) ∈ R3, a × (b + c) = a × b + a × c
Existence de neutres : aR, a + 0 = 0 + a = a ; a × 1 = 1 × a = a
Existence des opposés : aR, a + (−a) = 0
Existence des inverses : aR, a × 1/a = 1
Règle d’annulation du produit
∀ (a, b) ∈ R2, a × b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
Égalité des produits en croix
∀ (a, b, c, d) ∈ R2 × (R)2, a/c = b/dad = bc
Opérations réciproques
∀ (a, x) ∈ R+ × R, x2 = ax = a ou x = −a
∀ (x, y) ∈ R × R+∗, y = exx = ln(y)
Valeurs particulières
(−1)2 = 1 ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; ln(e) = 1

Règles opératoires

Changement de signe
∀ (a, b) ∈ R2, (−1) × a = −a ; −(a + b) = −ab ; −(ab) = −a + b
Identités remarquables
∀ (a, b) ∈ R2, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ; (a + b)(ab) = a2b2
Fractions
∀ (a, b, c, d) ∈ R2 × (R)2,
a/c + b/c = a + b/c ; a/c + b/d = ad + bc/cd ; a/c = a/c = a/c ;
a/c × b/d = ab/cd ;
a × b/c = ab/c ;
a/c/d = a/cd mais a/c/d = ad/c
Puissances
∀ (a, b) ∈ R2, ∀ (n, p) ∈ N2, a0 = 1 ; a1 = a ; an+p = an × ap ; (an)p = an×p ; (a × b)n = an × bn ;
si b ≠ 0, (a/b)n = an/bn
aR, ∀ (n, p) ∈ Z2,
anp = an/ap ; an = 1/an
Racine carrée
∀ (a, b) ∈ (R+)2, nN, ab = a × b ; an = (a)n ;
si b ≠ 0, a / b = a/b
Exponentielle
∀ (x, y) ∈ R2, nN, ex+y = ex ey ;
(ex)n = enx ;
ex = 1/ex ;
exy = ex/ey
Logarithme
∀ (x, y) ∈ (R+∗)2, nN, ln(xy) = ln(x) + ln(y) ;
ln(xn) = n ln(x) ;
ln(1/x) = − ln(x) ;
ln(x/y) = ln(x) − ln(y)

Inégalités

Relation d’ordre total
Réflexivité : aR, aa
Antisymétrie : ∀ (a, b) ∈ R2, ab et baa = b
Transitivité : ∀ (a, b, c) ∈ R3, ab et bcac
Totalité : ∀ (a, b) ∈ R2, ab ou ba
Règles de compatibilité
∀ (a, b, c) ∈ R3, aba + cb + c
∀ (a, b) ∈ R2, a ≥ 0 et b ≥ 0 ⇒ a × b ≥ 0
Addition des inégalités
∀ (a, b, c, d) ∈ R4, ab et cda+cb+d ; a<b et cda+c < b+d
Multiplication des inégalités
∀ (a, b, c) ∈ R2 × R, abacbc et a/cb/c ; a < bac < bc et a/c < b/c
∀ (a, b, c, d) ∈ (R+)4, ab et cdacbd
Règle des signes
×+
++
+
Transformation des inégalités
∀ (a, b) ∈ R2, a ≥ −bab ⇔ ea ≤ eb
∀ (a, b) ∈ (R+)2, aba2b2ab
∀ (a, b) ∈ (R+∗)2, 1/a1/bab ⇔ ln(a) ≤ ln(b)
Intervalles
∀ (a, b) ∈ R2 tel que a < b, [a, b] = {xR : axb} ; ]a, b[ = {xR : a < x < b} ; [a, b[ = {xR : ax < b} ; ]a, b] = {xR : a < xb} ; [a, +∞[ = {xR : ax} ; ]a, +∞[ = {xR : a < x} ; ]−∞, b] = {xR : xb} ; ]−∞, b[ = {xR : x < b} ; ]−∞, +∞[ = R