La fonction f est dérivable par théorème fondamental de l’analyse et sa dérivée s’écrit
pour tout x≥2, f’(x) = (h(x)/x) a exp(∫_2^x h(u)/u du) = h(x)f(x)/x
donc h(x) = x f’(x)/f(x), sachant que la fonction f ne s’annule pas par propriété de l’exponentielle.
Question 5 : si on pose h(x) = x 1/x / ln(x) = 1/ln(x), on vérifie que pour tout x≥2,
a exp(∫_2^x du / (u ln(u))) = a exp(∫_2^x v’(u)/v(u) du) où v est la fonction ln.
donc a exp(∫_2^x du / (u ln(u))) = a exp([ln(v(u))]_2^x) = a exp(ln(ln(x))−ln(ln(2))) = a ln(x)/ln(2).
Donc il suffit de poser a = ln(2) pour obtenir l’égalité ln(x) = a exp(∫_2^x h(u)/u du).
Et on a bien h(x) → 0 lorsque x → +∞.
L’égalité reste valable pour tout x > 0.
Question 6 : Soit ε > 0. Comme la fonction h tend vers 0 en +∞, il existe M > 0 tel que pour tout x ≥ M, on ait |h(x)| < ε.
On a ∫_2^x h(u)/u du = ∫_2^M h(u)/u du + ∫_M^x h(u)/u du
Donc f(x) = a exp(∫_2^M h(u)/u du) × exp(∫_M^x h(u)/u du)
On pose C = a exp(∫_2^M h(u)/u du)
et exp(∫_M^x h(u)/u du) ≤ exp(∫_M^x ε/u du) = exp(ε [ln(u)]_M^x) = exp(ε ln(x) − ε ln(M))
donc f(x) ≤ C exp(ε ln(x)) = C x^ε.
Pour tout x ≥ M, on a
|∫_x^cx h(u)/u du| ≤ ∫_x^cx |h(u)|/u du ≤ ∫_x^cx ε/u du = ε (ln(cx) − ln(x)) = ε ln(c).
Finalement, lim_{x→+∞} ∫_x^cx h(u)/u du = 0.
On en déduit f(cx)/f(x) = exp(∫_2^cx h(u)/u du − ∫_2^x h(u)/u du) = exp(∫_x^cx h(u)/u du)
d’où lim_{x→+∞} f(cx)/f(x) = exp(0) = 1.
Question 7 : la fonction est définie par F‾(u) = 1 − F(u) avec F fonction de répartition continue donc F‾ est continue aussi, car P(X=u) = 0 pour tout u ∈ R^+* dès lors que la fonction de répartition est continue.
Question 8 : On applique le TVI : lim_{u→+∞} F‾(u) = 0 et F‾(0) = 1 et la fonction F‾ est continue avec 1/n ∈ ]0, 1[ donc il existe un réel a_n tel que F‾(a_n) = 1/n.
Si X ↝ Exp(λ), alors pour tout u ≥ 0, F‾(u) = P(X≥u) = ∫_u^+∞ λe^-λt dt = [−e^-λt]_u^+∞
= e^-λu.
Donc on résout F‾(a_n) = 1/n ⇔ e^-λa_n = 1/n ⇔ −λa_n = ln(1/n) = − ln(n)
donc a_n = ln(n)/λ.
On applique l’inégalité de Markov : P(X≥a_n) ≤ E(X)/a_n ⇔ E(X) ≥ a_n F‾(a_n) = a_n/n.
Si X admettait une espérance, la suite a_n/n serait majorée par E(X) donc ne pourrait tendre vers +∞. Par contraposée, si (a_n/n) → +∞, X ne peut admettre une espérance.
Question 9 : Montrer que pour tout u > 0, u^α n P(X ≥ ua_n) → 1.
Or P(X≥ua_n) = F‾(ua_n) = g(ua_n)/(ua_n)^α
Donc u^α n P(X≥ua_n) = g(ua_n)/a_n^α / F‾(a_n) = g(ua_n)/a_n^α / (g(a_n)/a_n^α)
= g(ua_n)/g(a_n) → 1 car g est à variation lente et a_n → +∞.
Question 10 : P(max(X1, … , X_n)/a_n ≥ u) = P(max(X1, … , X_n) ≥ ua_n)
= 1 − P(max(X1, … , X_n) < ua_n) = 1 − P(X1 < ua_n, … , X_n < ua_n)
= 1 − P(X < ua_n)^n car les variables X_i sont indépendantes et de même loi.
Donc cette probabilité se réécrit 1 − (1 − P(X ≥ ua_n))^n
Or P(X ≥ ua_n) n u^α = 1 + o(1) donc P(X ≥ ua_n) = u^-α/n + o(1/n)
Donc (1 − P(X ≥ ua_n))^n = exp(n ln(1 − u^-α/n + o(1/n)))=exp(n×−u^-α/n+o(1)) → e^(-u^-α)
La notation (∑ u_n) est utilisée pour décrire la série de terme général u_n, autrement dit la suite des sommes partielles S_n = ∑_{k=0}^n u_k
∑_{n∈N} u_n = ∑_{n=0}^+∞ u_n.
On utilise aussi parfois la notation ∑_n u_n dans laquelle on ne précise pas l’ensemble dans lequel varie n.
Un DL en 0 sert à approcher la courbe de la fonction au voisinage de 0.
Par exemple ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³) est un DL à l’ordre 3 en 0.
ln(1+x) = ln(1+12+h) = ln(13×(1+h/13)) = ln(13) + ln(1+h/13) = ln(13) + h/13 − h²/338 + o(h²)
= ln(13) + (x−12)/13 − (x−12)²/338 + o((x−12)²) est un DL à l’ordre 3 en 12.
L’espérance de la loi normale centrée vaut 0. L’espérance de la loi N(μ, σ) vaut μ.
Exercice : calculer le DL à l’ordre 3 au point d’inflexion de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite en son point d’inflexion.
Soit p : E → F et y : F → G. rg(y∘p) = Im(y∘p) et rg(y) = Im(y).
On a Im(y∘p) ⊂ Im(y), en effet pour tout x ∈ E, on a (y∘p)(x) = y(p(x)) ∈ Im(y).
Soit x ∈ Im(y). Il existe u ∈ F tel que x = y(u). Et comme p est surjective, il existe v ∈ E tel que u = p(v). Donc x = y(p(v)) = (y∘p)(v) ∈ Im(y∘p).
Finalement, Im(y) = Im(y∘p) donc rg(y) = rg(y∘p).
De même on a rg(y∘p) = dim(E)−dim(Ker(y∘p)) et rg(p) = dim(E)−dim(Ker(p))
Or Ker(p) ⊂ Ker(y∘p)).
Et l’inclusion réciproque est satisfaite dès que y est injective.
Soit x ∈ Ker(y∘p). On a y(p(x)) = 0 mais comme y injective, p(x) = 0 donc x ∈ Ker(p).
Finalement, on trouve dans ce cas Ker(p) = Ker(y∘p) donc rg(y∘p) = rg(p).