Question 2 : dans le cas où A est symétrique, on a A^T = A = P(A) où P est le polynôme défini par P(x) = x ;
dans le cas où A = ρ R_θ, on a A^T + A = 2ρ cos(θ) I donc A^T = 2ρ cos(θ) I − A = P(A) où P est défini par
P(x) = 2 ρ cos(θ) − x
Question 3 : on résout l’équation dans le cas où A est symétrique :
A² − A + I_2 = 0 ⇔ a² − a + b² + 1 = 0 et d² + b² − d + 1 = 0 et ...
donc on calcule Δ = −3 − 4b² < 0 donc l’équation n’a pas de solution (il n’y a pas de matrice symétrique qui satisfait cette équation).
et dans le cas où A = ρ R_θ :
on calcule A² = ρ² (: cos²(θ)−sin²(θ) , 2sin(θ)cos(θ) ; −2sin(θ)cos(θ), cos²(θ)−sin²(θ))
et on résout les équations ρ²(cos²(θ)−sin²(θ)) − ρ cos(θ) + 1 = 0 et 2ρ²sin(θ)cos(θ) − ρ sin(θ) = 0
On obtient une équation du second degré en ρ pour le premier coefficient, de discriminant
Δ = ...
et la 2e équation se réécrit ρ sin(θ) (2ρ cos(θ) − 1) = 0
Or l’égalité ρ=0 donnerait dans la 1e équation 1=0, impossible.
L’égalité sin(θ)=0 donnerait cos²(θ)=1 donc la 1re équation s’écrirait ρ² − ρ cos(θ) + 1 = 0 qui est une équation du 2d degré avec Δ=
Reste le cas 2ρ cos(θ) = 1 qui se réécrit cos(θ)=1/2ρ, avec ρ≠0.
La 1re équation se réécrit alors ρ²(1/4ρ² − (1−1/4ρ²)) − ρ / 2ρ + 1 = 0 ⇔ 1/4 − ρ² + 1/4 − 1 = 0
⇔ ρ = 1.