Question 1 : la fonction f est définie et dérivable sur [0, 1[ comme quotient de fonctions dérivables (l’intérieur de la racine carrée ne s’annule pas sur [0, 1[).
Pour tout x ∈ [0, 1[, (f_r)′(x) = (−r exp(−rx)√(1−x) + exp(−rx)/2√(1−x)) / (1−x)
= exp(−rx)(−2r(1−x) + 1)/(1−x)^{3/2}.
Le signe de ce quotient est celui du numérateur que l’on trouve en résolvant
−2r(1−x) + 1 ≥ 0 ⇔ 1−x ≤ 1/2r ⇔ x ≥ 1 − 1/2r
avec r ≥ 1 donc 0 < 1/2r ≤ 1/2 donc 1 > 1 − 1/2r ≥ 1/2.
lim_{x→0} f_r(x) = exp(0)/√1 = 1
et lim_{x→1} √(1−x) = 0^+ et lim_{x→1} exp(−rx) = exp(−r) > 0
donc lim_{x→1} f_r(x) = +∞.
En outre f_r(1−1/2r) = exp((1−2r)/2)√(2r) > 0.
On obtient le graphe suivant :
Question 2 : La fonction f_r est continue sur [0, 1[ donc intégrable en 0.
Avec un changement de variable h = 1−x, on trouve
f_r(x) = exp(−r(1−h))/√h = exp(−r(1−h))/h^(1/2)
or par critère de Riemann, puisque 1/2 < 1, la fonction h ↦ 1/h^{1/2} est intégrable en 0 et exp(−r(1−h)) a une limite finie en 0 donc le quotient exp(−r(1−h))/h^{1/2} est intégrable en 0
donc la fonction f_r est intégrable en 1.
Question 3 : On peut calculer pour tout r ∈ ]0, 1[,
I1(r) = [−1/r exp(−rx)]_0^{r^(-2/3)} = −1/r exp(−r^{1/3}) + 1/r
Or lim_{r→+∞} r^{1/3} = +∞ donc lim_{r→+∞} exp(−r^{1/3}) = 0
donc exp(−r^{1/3}) = o_{r→+∞} (1)
donc I1(r) = 1/r (1+o_{r→+∞}(1)).
Question 4 : on raisonne par équivalences pour tout y ∈ ]0, 1[ :
1 ≤ 1/√(1−y) ⇔ √(1−y) ≤ 1 ⇔ 1−y ≤ 1 ⇔ 0 ≤ y : vrai ;
1/√(1−y) ≤ 1 + y/(2(1−y)^{3/2}) ⇔ 2(1−y) ≤ 2(1−y)^{3/2} + y ⇔ 2−3y ≤ 2(1−y)^{3/2} (*)
On distingue 2 cas : si y ≤ 2/3, les deux membres sont positifs et l’inégalité se réécrit
4 − 12y + 9y² ≤ 4(1−y)³ ⇔ 4 − 12y + 9y² ≤ 4(1−3y+3y²−y³)
⇔ 0 ≤ 3y² − 4y³ ⇔ 0 ≤ (3−4y)y² vrai car y ≤ 2/3 ≤ 3/4.
Si y ≥ 2/3, alors l’inégalité (*) est vraie pour raisons de signe.
On aurait pu transformer cette inégalité en 1 ≤ √(1−y) + y/(2(1−y)).
Question 5 : pour tout r ≥ 1, en appliquant l’inégalité précédente à x=y
on a 0 ≤ ∫_0^{r^{-3/2}} (1/√(1−x) − 1)e^-rx dx≤∫_0^{r^{-3/2}}x/(2(1−x)^{3/2})e^-rx dx
or pour tout x ∈ [0, r^{-2/3}], (1−x)^{3/2} ≥ (1−r^{-2/3})^{3/2}
donc 1/(1−x)^{3/2} ≤ 1/(1−r^{-2/3})^{3/2}
donc ∫_0^{r^{-3/2}}x/(2(1−x)^{3/2})e^-rx dx ≤ ∫_0^{} x/(2(1−r^{-2/3})^{3/2}) dx
donc I2(r) ≤ (1−r^{-2/3})^{-3/2} [1/2 x²]_0^{r^{-2/3}} = 1/2 (1−r^{-2/3})^{-3/2} 1/r^{4/3}
donc on peut poser c2 = 1/2.
Question 6 : pour tout x ∈ [r^{-2/3}, 1], on a exp(−rx) ≤ exp(−r^{1/3})
donc I3(r) ≤ ∫_{r^(-2/3)}^1 exp(−r^{1/3})/√(1−x)dx
avec ∫_{r^{-2/3}}^1 dx/√(1−x) ≤ ∫_0^1 dx/√(1−x) < +∞ par critère de Riemann.
Donc en posant c3 = ∫_0^1 dx/√(1−x) on trouve bien
I3(r) ≤ c3 exp(−r^{1/3}).
Question 7 : on a (1−r^{-2/3})^{-3/2} = exp(−3/2 ln(1−r^{-2/3}))
avec r^{-2/3} → 0 quand r → +∞ donc on peut utiliser le DL de ln :
exp(−3/2 (−r^{-2/3} + o(r^{-2/3}))) = 1 + 3/2 r^{-2/3} + o(r^{-2/3})
donc r.I2(r) ≤ c2(1+3/2 r^{-2/3} + o(r^{-2/3})) / r^{1/3} → 0 quand r → +∞.
De même, on a r I3(r) ≤ r c3 exp(-r^{1/3})
donc avec le changement de variable r = t³, on trouve
t³ c3 exp(-t) → 0 quand t → +∞ par comparaison de croissance
donc r I3(r) → 0 quand r → +∞ donc I3(r) = o(1/r)
Finalement I(r) = I1(r) + I2(r) + I3(r) = 1/r + o(1/r)
Exercice similaire : calculer la limite de ((a^r + b^r)/2)^(1/r) lorsque r tend vers 0 (et en +∞).
On pourra traiter les deux cas a < b et a = b
Exercice sur le changement de variable affine : calculer le DL de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite en son point d’inflexion positif.
Annales : ENS 2011 exercice 1 et problème,
HEC 2016, ESSEC 2019 et 2017