Devoir surveillé n^o 2 en khâgne B/L

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]] et B = [[−1 ;1 ;1][1 ;−1 ;1][1 ;1 ;−1]].

1. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme f représenté par A dans la base canonique de R³, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
2. Montrer la relation Ker(f) ⊕ Im(f) = R³.
3. Calculer A² et exprimer le résultat linéairement en fonction de A. En déduire pour tout n ∈ N^∗ une expression de Aⁿ comme multiple de A.
4. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B² et la matrice identité. En déduire que la matrice B est inversible et calculer B⁻¹.
5. Donner une expression de Bⁿ pour tout n ∈ N^∗.

Loi avec une décroissance cubique

1. Justifier que la série ∑_j=1^+∞(1)/((j + 1)(j + 2)(j + 3)) converge.
2. Déterminer trois réels b, c et d tels que pour tout entier j ≥ 1 on ait (1)/((j + 1)(j + 2)(j + 3)) = (b)/(j + 1) + (c)/(j + 2) + (d)/(j + 3).
3. En déduire la somme de la série ∑_j=1^+∞(1)/((j + 1)(j + 2)(j + 3)).
4. En déduire la valeur de a pour laquelle la suite ((a)/((j + 1)(j + 2)(j + 3))) décrit une loi de probabilité sur N^∗.
5. La loi de probabilité ainsi définie admet-elle une espérance ? une variance ?

Intégrale généralisée

On définit pour tout x ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[, f(x) = (x − 1)/(ln(x)), ainsi que f(0) = 0 et f(1) = 1.

1. Montrer que la fonction f ainsi définie est continue sur R⁺ et dérivable sur R^+∗.
2. Dresser le tableau de variations de f avec ses limites éventuelles.
3. En déduire les variations de la fonction F : x ↦ ∫₀^x f(t) dt sur R⁺ avec ses limites.
4. Justifier que pour tout x ∈ ]0 ; 1[ on a F(x) = ∫₀^x (t)/(ln(t)) dt − ∫₀^x (1)/(ln(t)) dt = ∫_x^x2 (1)/(ln(t)) dt.
5. À l’aide d’un développement limité, montrer que la fonction t ↦ (1)/(ln(t)) − (1)/(t − 1) admet une limite finie en 1.
6. En déduire que les deux intégrales ∫_x^x2 (1)/(ln(t)) et ∫_x^x2 (1)/(t − 1) admettent une même limite L lorsque x tend vers 1, et calculer cette limite.
7. En déduire la valeur de l’intégrale ∫₀¹ (t − 1)/(ln(t)).
8. Représenter graphiquement la fonction F, en précisant une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse x = 1.
9. Justifier que l’égalité on a F(x) = ∫_x^x2 (1)/(ln(t)) dt est aussi valable pour tout x > 1.
10. Montrer que pour tout x > 1 on a ∫_x^x2/ln(x) (dt)/(ln(t)) ≤ (x²)/(ln²(x)).
11. Montrer de même que pour tout x > 1, on a (x²(1 − 1/ln(x)))/(2 ln(x)) ≤ ∫_x²/ln(x)^x2 (dt)/(ln(t)) ≤ (x²(1 − 1/ln(x)))/(2 ln(x) − ln(ln(x))).
12. En déduire lim_x→+∞ (ln(x))/(x²) F(x) = (1)/(2).

Fonction dépendant d’un paramètre

Soit a un réel strictement positif fixé. On pose pour tout x ∈ R, f_a(x) = (a(1 + a²))/(1 + x²).

1. Déterminer les variations et limites de f et tracer sa courbe représentative.
2. Préciser les valeurs maximales et minimales pour f′ et indiquer l’allure de la courbe de f au voisinage des points correspondants à l’aide d’un développement limité à l’ordre 3.
3. Résoudre l’équation f_a(x) = a d’inconnue x.
4. Résoudre l’équation f_a(x) = x d’inconnue x.
5. Dans cette question uniquement, on s’intéresse au cas particulier a = 1. Montrer que les solutions de l’équation (f₁ ∘ f₁)(x) = x sont les racines du polynôme P₁(x) = x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 4x² + 5x − 2.
   Montrer que 1 est racine de P₁ et préciser son ordre de multiplicité, puis déterminer toutes les autres racines réelles de P₁.
6. Plus généralement, montrer que les solutions de l’équation (f_a ∘ f_a)(x) = x sont les racines d’un polynôme P_a de degré 5 que l’on explicitera.
7. Montrer qu’il existe un polynôme Q_a tel que P_a(x) = (x − a) × Q_a(x).

Échantillon de variables uniformes

Dans tout l’exercice, on note θ un paramètre réel strictement positif.

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [0, θ], et (X_k)_k≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que X.

1. 1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
   2. Calculer l’espérance et la variance de X.
2. Pour tout entier n ≥ 1, on pose Y_n = (2)/(n) ∑_k=1ⁿ X_k.
   1. Montrer qu’on a E(Y_n) = θ.
   2. Calculer la variance de Y_n et établir la relation ∀ ε > 0, lim_n→+∞ P(|Y_n − θ| > ε) = 0.
3. Pour tout entier n ≥ 1, on pose T_n = max(X₁, X₂, … , X_n).
   1. Montrer que la fonction de répartition F_Tn de la variable T_n est donnée pour tout x ∈ [0, θ] par F_Tn(x) = ((x)/(θ))ⁿ et qu’elle est constante en dehors de cet intervalle.
   2. Vérifier que T_n est une variable aléatoire à densité et préciser une expression de cette densité f_Tn.
   3. Calculer l’espérance de T_n et déterminer un réel α tel que E(αT_n) = θ.
4. Soit U et V deux variables aléatoires à densité indépendantes. On note f_U une densité de U et F_V la fonction de répartition de V. Établir, pour tout réel z, la convergence de l’intégrale J(z) = ∫_−∞^+∞ f_U(t) F_V(z + t) dt.
   On admet dans toute la suite que la fonction J est la fonction de répartition de la variable V − U.
5. Pour tout entier n ≥ 2, on pose Z_n = T_n−1 − X_n, où T_n−1 = max(X₁, … , X_n−1).
   1. Montrer que Z_n(Ω) = [−θ, θ].
   2. Justifier que les variables T_n−1 et Z_n sont indépendantes.
   3. On note F_Tn−1 la fonction de répartition de T_n−1. À l’aide du résultat admis, montrer que la fonction de répartition F_Zn de Z_n est donnée par F_Zn(z) = ∫_z^θ+z (1)/(θ)F_Tn−1(u) du.
   4. Calculer une expression de cette intégrale. On pourra distinguer les cas z ≥ 0 et z < 0.