Concours blanc n^o 1 en khâgne B/L

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]] et B = [[3 ;1 ;1][1 ;3 ;1][1 ;1 ;3]].

1. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme f représenté par A dans la base canonique de R³, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
2. Montrer la relation Ker(f) ⊕ Im(f) = R³.
3. Calculer A² et exprimer le résultat linéairement en fonction de A. En déduire pour tout n ∈ N^∗ une expression de Aⁿ comme multiple de A.
4. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B² et la matrice identité. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
5. Donner une expression de Bⁿ pour tout n ∈ N^∗.

Loi avec une décroissance cubique

1. Justifier que la série ∑_j=1^+∞(1)/(j(j + 1)(j + 2)) converge.
2. Déterminer trois réels b, c et d tels que pour tout entier j ≥ 1 on ait (1)/(j(j + 1)(j + 2)) = (b)/(j) + (c)/(j + 1) + (d)/(j + 2).
3. En déduire la somme de la série ∑_j=1^+∞(1)/(j(j + 1)(j + 2)).
4. En déduire la valeur de a pour laquelle la suite ((a)/(j(j + 1)(j + 2))) décrit une loi de probabilité sur N^∗.
5. La loi de probabilité ainsi définie admet-elle une espérance ? une variance ?

Intégrales généralisées

Pour tout n ∈ N^∗ on pose S_n = ∑_k=1ⁿ (1)/(k), a_n = S_n − ln(n) et b_n = a_n+1 − a_n.

1. Montrer que pour tout réel x > −1, on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout entier n > 0 et pour tout réel t ≤ n on a (1 − (t)/(n))ⁿ ≤ e^−t.
3. Soit n ∈ N^∗. Étudier les variations de la fonction h : t ↦ t + n ln(1 − (t)/(n)) − ln(1 − (t²)/(n)) sur l’intervalle [0, √(n)[.
4. En déduire la double inégalité 0 ≤ e^−t − (1 − (t)/(n))ⁿ ≤ (t²)/(n) e^−t pour tout t ∈ [0, √(n)[.
5. Montrer que cette double inégalité reste valable sur [√(n), n].
6. Pour tout n ∈ N^∗, montrer que l’intégrale I_n = ∫₀ⁿ (e^−t − (1 − (t)/(n))ⁿ)/(t) dt converge.
7. Montrer que la suite (I_n) tend vers 0.
8. Pour tout n ∈ N^∗, exprimer ∑_k=0ⁿ⁻¹ ∫₀ⁿ (1 − (t)/(n))^k dt en fonction de S_n et en déduire S_n = ∫₀ⁿ (1 − (1 − (t)/(n))ⁿ)/(t) dt.
9. Déterminer c ∈ R^∗ et d ∈ N tel que b_n = (c)/(n^d) + o_n→+∞(n^−d) à l’aide d’un développement limité.
10. En déduire la nature de la série (∑b_n) et la convergence de la suite (a_n). On ne cherchera pas à calculer sa limite, notée α.
11. Justifier que les deux intégrales suivantes convergent : K = ∫₀¹ (1 − e^−t)/(t) dt et L = ∫₁^+∞ (e^−t)/(t) dt.
12. En étudiant la différence (S_n − I_n), montrer que K − L = α.
13. En déduire la convergence et la valeur de l’intégrale ∫₀^+∞ e^−t ln(t) dt.

Des lapins dans la comptabilité

Suite de Fibonacci

On pose F₀ = 0, F₁ = 1 et pour tout entier n ≥ 0, F_n+2 = F_n + F_n+1.

1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F₂₁.
2. Rappeler la formule de Pascal et montrer par récurrence double que pour tout n ∈ N, F_n+1 = ∑_k=0ⁿ (k parmi n−k).
3. On pose pour tout n ∈ N, X_n = [[F_n][F_n+1]]. Calculer X₀ et X₁.
4. Montrer que pour tout n ∈ N on a X_n+1 = AX_n où A = [[0 ;1][1 ;1]].
5. Montrer que A admet deux valeurs propres distinctes notées λ < φ.
6. Déterminer deux vecteurs propres associés Y_λ et Y_φ.
7. Justifier que (Y_λ, Y_φ) forme une base de R² et calculer les coordonnées de X₀ dans cette base.
8. Montrer que pour tout n ∈ N on a AⁿY_λ = λⁿ·Y_λ et AⁿY_φ = φⁿ·Y_φ.
9. En déduire une expression de F_n pour tout n ∈ N.

Dénombrement

Hector a un doute sur les chiffres de la comptabilité d’une entreprise qu’il doit analyser. Sur les 20 montants relevés à la suite sur une même page, il n’y a jamais trois nombres de suite qui ont la même parité. Il en fait part à son amie Ada, mathématicienne. Celle-ci lui explique qu’une telle disposition peut se représenter avec une barrette de 20 cases en ligne remplie avec uniquement des petits carrés 1 × 1 et des rectangles 2 × 1, comme dans l’exemple ci-dessous.

1. Sur les 20 cases, combien peut-on mettre de rectangles 2 × 1 au minimum ? au maximum ?
2. Si on place k tels rectangles, combien reste-t-il de petits carrés à placer ?
3. Justifier qu’il y a autant de placement des k rectangles que de combinaisons de k nombres dans ⟦1, 20 − k⟧.
4. En déduire que le nombre de dispositions présentées par Ada s’écrit ∑_k=0¹⁰ (k parmi 20 − k) et en expliciter la valeur.
5. Étant donné une disposition de carrés et rectangles, de combien de manières peut-on écrire sur chaque pièce « pair » ou « impair » de façon à ce que deux pièces consécutives n’aient pas la même parité ?
6. De combien de manières peut-on écrire « pair » ou « impair » sur chacune des 20 cases sans cette contrainte du changement de parité ?
7. En déduire la probabilité selon laquelle un choix de parité sur chacune des 20 cases ne donne pas plus de deux cases consécutives avec la même parité.

Fonction dépendant d’un paramètre

Soit a un réel strictement positif fixé. On pose pour tout x ∈ R, f_a(x) = (a(1 + a²))/(1 + x²).

1. Déterminer les variations et limites de f et tracer sa courbe représentative.
2. Préciser les valeurs maximales et minimales pour f′ et indiquer l’allure de la courbe de f au voisinage des points correspondants à l’aide d’un développement limité à l’ordre 3.
3. Résoudre l’équation f_a(x) = a d’inconnue x.
4. Résoudre l’équation f_a(x) = x d’inconnue x.
5. Dans cette question uniquement, on s’intéresse au cas particulier a = 1. Montrer que les solutions de l’équation (f₁ ∘ f₁)(x) = x sont les racines du polynôme P₁(x) = x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 4x² + 5x − 2.
   Montrer que 1 est racine de P₁ et préciser son ordre de multiplicité, puis déterminer toutes les autres racines réelles de P₁.
6. Plus généralement, montrer que les solutions de l’équation (f_a ∘ f_a)(x) = x sont les racines d’un polynôme P_a de degré 5 que l’on explicitera.
7. Montrer qu’il existe un polynôme Q_a tel que P_a(x) = (x − a) × Q_a(x).
8. On suppose maintenant que 0 < a < 1.
   Étudier les variations de Q_a sur ]a, +∞[ et en déduire qu’il admet une unique racine dans cet intervalle.