Concours blanc no 1 en khâgne B/L

Épreuve en 4 h sans calculatrice ni document autorisé.

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]] et B = [[3 ;1 ;1][1 ;3 ;1][1 ;1 ;3]].

  1. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme f représenté par A dans la base canonique de R3, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
  2. Montrer la relation Ker(f) ⊕ Im(f) = R3.
  3. Calculer A2 et exprimer le résultat linéairement en fonction de A. En déduire pour tout nN une expression de An comme multiple de A.
  4. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B2 et la matrice identité. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
  5. Donner une expression de Bn pour tout nN.

Loi avec une décroissance cubique

  1. Justifier que la série j=1+∞(1)/(j(j + 1)(j + 2)) converge.
  2. Déterminer trois réels b, c et d tels que pour tout entier j ≥ 1 on ait (1)/(j(j + 1)(j + 2)) = (b)/(j) + (c)/(j + 1) + (d)/(j + 2).
  3. En déduire la somme de la série j=1+∞(1)/(j(j + 1)(j + 2)).
  4. En déduire la valeur de a pour laquelle la suite ((a)/(j(j + 1)(j + 2))) décrit une loi de probabilité sur N.
  5. La loi de probabilité ainsi définie admet-elle une espérance ? une variance ?

Intégrales généralisées

Pour tout nN on pose Sn = k=1n (1)/(k), an = Sn − ln(n) et bn = an+1an.

  1. Montrer que pour tout réel x > −1, on a ln(1 + x) ≤ x.
  2. En déduire que pour tout entier n > 0 et pour tout réel tn on a (1 − (t)/(n))n ≤ et.
  3. Soit nN. Étudier les variations de la fonction h : tt + n ln(1 − (t)/(n)) − ln(1 − (t2)/(n)) sur l’intervalle [0, (n)[.
  4. En déduire la double inégalité 0 ≤ et(1 − (t)/(n))n(t2)/(n) et pour tout t[0, (n)[.
  5. Montrer que cette double inégalité reste valable sur [(n), n].
  6. Pour tout nN, montrer que l’intégrale In = 0n (et(1 − (t)/(n))n)/(t) dt converge.
  7. Montrer que la suite (In) tend vers 0.
  8. Pour tout nN, exprimer k=0n−1 0n (1 − (t)/(n))k dt en fonction de Sn et en déduire Sn = 0n (1 − (1 − (t)/(n))n)/(t) dt.
  9. Déterminer cR et dN tel que bn = (c)/(nd) + on→+∞(nd) à l’aide d’un développement limité.
  10. En déduire la nature de la série (∑bn) et la convergence de la suite (an). On ne cherchera pas à calculer sa limite, notée α.
  11. Justifier que les deux intégrales suivantes convergent : K = 01 (1 − et)/(t) dt et L = 1+∞ (et)/(t) dt.
  12. En étudiant la différence (SnIn), montrer que KL = α.
  13. En déduire la convergence et la valeur de l’intégrale 0+∞ et ln(t) dt.

Des lapins dans la comptabilité

Suite de Fibonacci

On pose F0 = 0, F1 = 1 et pour tout entier n ≥ 0, Fn+2 = Fn + Fn+1.

  1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F21.
  2. Rappeler la formule de Pascal et montrer par récurrence double que pour tout nN, Fn+1 = k=0n (k parmi nk).
  3. On pose pour tout nN, Xn = [[Fn][Fn+1]]. Calculer X0 et X1.
  4. Montrer que pour tout nN on a Xn+1 = AXnA = [[0 ;1][1 ;1]].
  5. Montrer que A admet deux valeurs propres distinctes notées λ < φ.
  6. Déterminer deux vecteurs propres associés Yλ et Yφ.
  7. Justifier que (Yλ, Yφ) forme une base de R2 et calculer les coordonnées de X0 dans cette base.
  8. Montrer que pour tout nN on a AnYλ = λn·Yλ et AnYφ = φn·Yφ.
  9. En déduire une expression de Fn pour tout nN.

Dénombrement

Hector a un doute sur les chiffres de la comptabilité d’une entreprise qu’il doit analyser. Sur les 20 montants relevés à la suite sur une même page, il n’y a jamais trois nombres de suite qui ont la même parité. Il en fait part à son amie Ada, mathématicienne. Celle-ci lui explique qu’une telle disposition peut se représenter avec une barrette de 20 cases en ligne remplie avec uniquement des petits carrés 1 × 1 et des rectangles 2 × 1, comme dans l’exemple ci-dessous.

  1. Sur les 20 cases, combien peut-on mettre de rectangles 2 × 1 au minimum ? au maximum ?
  2. Si on place k tels rectangles, combien reste-t-il de petits carrés à placer ?
  3. Justifier qu’il y a autant de placement des k rectangles que de combinaisons de k nombres dans ⟦1, 20 − k.
  4. En déduire que le nombre de dispositions présentées par Ada s’écrit k=010 (k parmi 20 − k) et en expliciter la valeur.
  5. Étant donné une disposition de carrés et rectangles, de combien de manières peut-on écrire sur chaque pièce « pair » ou « impair » de façon à ce que deux pièces consécutives n’aient pas la même parité ?
  6. De combien de manières peut-on écrire « pair » ou « impair » sur chacune des 20 cases sans cette contrainte du changement de parité ?
  7. En déduire la probabilité selon laquelle un choix de parité sur chacune des 20 cases ne donne pas plus de deux cases consécutives avec la même parité.

Fonction dépendant d’un paramètre

Soit a un réel strictement positif fixé. On pose pour tout xR, fa(x) = (a(1 + a2))/(1 + x2).

  1. Déterminer les variations et limites de f et tracer sa courbe représentative.
  2. Préciser les valeurs maximales et minimales pour f et indiquer l’allure de la courbe de f au voisinage des points correspondants à l’aide d’un développement limité à l’ordre 3.
  3. Résoudre l’équation fa(x) = a d’inconnue x.
  4. Résoudre l’équation fa(x) = x d’inconnue x.
  5. Dans cette question uniquement, on s’intéresse au cas particulier a = 1. Montrer que les solutions de l’équation (f1f1)(x) = x sont les racines du polynôme P1(x) = x5 − 2x4 + 2x3 − 4x2 + 5x − 2.
    Montrer que 1 est racine de P1 et préciser son ordre de multiplicité, puis déterminer toutes les autres racines réelles de P1.
  6. Plus généralement, montrer que les solutions de l’équation (fafa)(x) = x sont les racines d’un polynôme Pa de degré 5 que l’on explicitera.
  7. Montrer qu’il existe un polynôme Qa tel que Pa(x) = (xa) × Qa(x).
  8. On suppose maintenant que 0 < a < 1.
    Étudier les variations de Qa sur ]a, +∞[ et en déduire qu’il admet une unique racine dans cet intervalle.