On considère la matrice M
= [[1 ;2 ;−2 ;]][1 ;5 ;−4 ;]][1 ;2 ;−1 ;]].
Montrer que les valeurs propres de M sont 3 et 1. La matrice est-elle diagonalisable dans ℳ3(R) ?
Déterminer trois constantes réelles a, b et c telles que pour tout x ∈ R ∖ {1 ; 3} on ait
1/(x − 1)2(x − 3))
= ax + b/(x − 1)2)
+ c/x − 3)
Calculer les matrices A = (aM + bI)(M − 3I)
et B = c(M − I)2
ainsi que leurs carrés
A2
et B2.
On pose D = A + 3B.
Vérifier qu’on trouve D = [[1 ;2 ;−2 ;]][0 ;6 ;−5 ;]][0 ;3 ;−2 ;]]
puis calculer N = M − D ainsi que
N2.
Montrer que les matrices D et N commutent.
Montrer que pour tout k ∈ N on a
Mk = Dk + kN.
Covariance de variables aléatoires discrètes
Soient X et Y deux variables géométriques indépendantes et de même paramètre p ∈ ]0 ; 1[.
On pose M = max(X, Y)
et L = min(X, Y)
Justifier sans calcul que L et M admettent une espérance.
Déterminer la loi de L et préciser son espérance.
Exprimer L + M en fonction de X et Y puis en déduire E(M).
Par une méthode analogue, calculer Cov(L, M).
Les variables L et M sont-elles indépendantes ?
Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y.
Pour tout n ∈ N∗, déterminer la loi conditionnelle de X sachant S = n.
On considère à présent une troisième variable aléatoire géométrique Z indépendante de X et Y et de même paramètre, puis on pose T = Y + Z.
Calculer Cov(S, T). Les variables aléatoires S et T sont-elles indépendantes ?
Calculer V(S + T) puis le coefficient de corrélation linéaire entre S et T.
Étude de fonction
On pose pour tout x ∈ ]0 ; 1[,
f(x) = x × (1 + 1/ln(x)).
Déterminer l’unique réel α ∈ ]0 ; 1[
tel que f(α) = 0.
Démontrer que la fonction f peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0. Préciser l’équation de la tangente en ce point.
Justifier que la fonction est dérivable sur son domaine de définition et calculer sa dérivée en fonction de y = 1/ln(x).
En déduire qu’il existe un unique point d’annulation de la dérivée et préciser sa valeur.
Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Justifier que pour tout x ∈ ]0 ; 1[,
f(x) ≤ x.
Matrice aléatoire
On considère un échantillon de quatre variables de Bernoulli (X1, X2, X3, X4) à valeurs dans {0 ; 1} et de même paramètre p ∈ ]0 ; 1[, avec lesquelles on forme une matrice
M = [[X1 ;X2 ;]][X3 ;X4 ;]].
Dénombrer les matrices carrées de taille 2 dont chaque coefficient vaut 0 ou 1.
Lister parmi ces matrices celles qui sont inversibles.
Calculer la probabilitié que M ait pour coefficients
[[1 ;1 ;]][0 ;1 ;]]
.
Calculer plus généralement la probabilité que M soit inversible.
Déterminer la valeur de p qui maximise la probabilité précédente.
Variable aléatoire à densité
Soit (a, k) ∈ (R+∗)2.
On pose pour tout x ∈ [1 ; +∞[,
f(x)
= ax−k ln(x).
À quelle condition la fonction f constitue-t-elle une fonction de densité sur [1 ; +∞[ ?
Déterminer l’espérance et la variance de la loi ainsi définie, si elles existent.
Si X est une variable aléatoire avec cette densité, déterminer la fonction de répartition de la variable Y = 1/X. Justifier que la variable Y admet un moment à n’importe quel ordre.