Devoir surveillé n^o 1

Étude de fonction

Déterminer le domaine de définition et les variations de la fonction g : x ↦ exp(1 / ln(x)), en précisant les limites de la fonction et de sa dérivée aux bornes du domaine. Tracer aussi l’allure de la courbe avec ses éventuelles asymptotes.

Intégrale d’une inverse de polynôme

1. Montrer que la fonction polynôme f : x ↦ x⁴ + x³ − 8x² − 12x est continue et ne s’annule pas sur [1 ; 2].
2. Factoriser le polynôme sachant qu’il a une racine double.
3. Montrer qu’il existe (a, b, c, d) ∈ R⁴ tel que pour tout x ∈ [1 ; 2] on ait 1/f(x)) = a/x) + b/x − 3) + c/x + 2) + d/(x + 2)²).
4. Calculer ∫₁² 1/f(x)) dx.

Valeur de tendance

On peut donner une valeur de tendance sur trois termes consécutifs d’une suite en calculant leur moyenne avec les coefficients respectifs 1, 2 et 3.

Application au taux de chômage

1. Le taux de chômage en France métropolitaine était évalué à 8 % entre 2000 et 2005, à 8,2 % entre 2005 et 2010, et à 9,6 % entre 2010 et 2015. Calculer la valeur de tendance du taux de chômage en France de 2000 à 2015.
2. Déterminer le taux à atteindre dans les 5 années suivantes pour conserver la même valeur de tendance entre 2005 et 2020.

Suite récurrente

On s’intéresse maintenant aux suites dont les valeurs de tendance sur trois termes consécutifs sont constantes, c’est-à-dire qu’on cherche les suites satisfaisant la relation de récurrence pour tout n ∈ N,
3u_n+3 + 2 u_n+2 + u_n+1/6) = 3u_n+2 + 2 u_n+1 + u_n/6).

1. Montrer que l’ensemble E des suites complexes satisfaisant cette relation de récurrence forme un espace vectoriel sur C.
2. Montrer qu’une suite géométrique satisfait cette relation de récurrence si et seulement si sa raison est une racine du polynôme P = 3X³ − X² − X − 1.
3. Montrer que 1 est racine de P et en déduire une factorisation de P.
4. Déterminer toutes les racines réelles ou complexes de P, que l’on notera donc 1, α et β, et calculer leur module.
5. Démontrer que la suite constante de valeur 1 ainsi que les suites géométriques (αⁿ) et (βⁿ) forment une famille libre de E.
6. Démontrer que pour tout (x, y, z) ∈ C³ il existe une unique suite u ∈ E telle que (u₀, u₁, u₂) = (x, y, z).
7. En déduire la dimension de E et préciser une de ses bases.
8. Justifier que toute suite de E converge.

Paires de chaussettes

On dispose de 20 paires de chaussettes toutes distinctes mais mélangées en tas au sortir de la machine à laver.

1. Soit k un entier naturel inférieur ou égal à 40. On tire k chaussettes du tas.
   1. Indiquer le nombre de tirages possibles.
   2. On cherche une paire précise (celle avec des rayures vertes sur fond blanc). Calculer le nombre de tirages qui contiennent ces deux chaussettes et en déduire la probabilité de les avoir trouvées.
   3. Calculer de même la probabilité que les deux chaussettes soient restées dans le tas.
   4. En déduire que la probabilité de n’avoir obtenu qu’une des deux chaussettes dans le tirage s’écrit p(k) = 80k − 2k²/1560).
2. Étudier les variations de p(k) en fonction de k et montrer qu’elle admet un maximum dont on précisera la valeur.
3. Généraliser la formule de p(k) pour un nombre n de paires de chaussettes, vérifier qu’elle admet un maximum et étudier la limite de celui-ci lorsque n tend vers l’infini.