Épreuve de mathématiques du concours blanc n^o 1

Demi-vie permanente

On veut savoir si l’on peut être en permanence à la moitié de sa vie, autrement dit si son espérance de vie peut être chaque jour le double de sa vie passée. Pour cela, on modélise la durée de vie par une variable aléatoire discrète X à valeurs dans N^∗ et pour tout k ∈ N^∗ on note p_k = P(X = k) et r_k = P(X ≥ k). On suppose que la suite (r_k) ne s’annule pas.

Analyse de la suite de probabilités

1. Montrer que pour tout (j, k) ∈ N^∗2 tel que j ≤ k on a P_{X ≥ j}(X = k) = p_k/r_j).
2. En déduire pour tout j ∈ N^∗ une expression de l’espérance conditionnelle E_{X ≥ j}(X) = ∑_k=j^+∞ k × P_{X ≥ j}(X = k)
   et en déduire que l’égalité E_{X ≥ j}(X)= 2j se réécrit 2 jr_j = ∑_k=j^+∞ k p_k.
3. Calculer pour tout j ∈ N^∗ la différence 2 jr_j − 2 (j + 1)r_j+1 de deux manières différentes et en déduire la relation jp_j = 2 r_j+1.
4. Calculer de nouveau les différences de termes successifs pour les suites (jp_j) et (2 r_j+1) et en déduire la relation de récurrence ∀j ≥ 1,  (j + 3)p_j+1 = jp_j.
5. Montrer par récurrence qu’il existe un réel a tel que pour tout entier j ≥ 1 on ait p_j = a/j(j + 1)(j + 2)).

Série convergente

1. Justifier que la série ∑_j=1^+∞1/j(j + 1)(j + 2)) converge.
2. Déterminer trois réels b, c et d tels que pour tout entier j ≥ 1 on ait 1/j(j + 1)(j + 2)) = b/j) + c/j + 1) + d/j + 2).
3. En déduire la somme de la série ∑_j=1^+∞1/j(j + 1)(j + 2)).
4. En déduire la valeur de a pour laquelle la suite (a/j(j + 1)(j + 2))) décrit une loi de probabilité sur N^∗.
5. La loi de probabilité ainsi définie admet-elle une espérance ? une variance ?

Fonction dépendant d’un paramètre

Soit a un réel strictement positif fixé. On pose pour tout x ∈ R, f_a(x) = a(1 + a²)/1 + x²).

1. Déterminer les variations et limites de f et tracer sa courbe représentative.
2. Résoudre l’équation f_a(x) = x.
3. Résoudre l’équation f_a(x) = a.
4. Dans cette question uniquement, on s’intéresse au cas particulier a = 1. Montrer que les solutions de l’équation (f₁ ∘ f₁)(x) = x sont les racines du polynôme P₁ = X⁵ − 2X⁴ + 2X³ − 4X² + 5X − 2.
   Montrer que 1 est racine de P₁ et préciser son ordre de multiplicité, puis déterminer toutes les autres racines réelles de P₁.
5. Plus généralement, montrer que les solutions de l’équation (f_a ∘ f_a)(x) = x sont les racines d’un polynôme P_a de degré 5 que l’on explicitera.
6. Montrer qu’il existe un polynôme Q_a tel que P_a = (X − a) × Q_a.
7. On suppose maintenant que 0 < a < 1.
   Étudier les variations de Q_a sur ]a, +∞[ et en déduire qu’il admet une unique racine dans cet intervalle.

Permutation circulaire

Résultats préliminaires

1. Rappeler ce que sont les racines troisièmes de l’unité dans C et placer les points d’affixe correspondante dans le plan avec le cercle trigonométrique. On pourra noter j = e^2iπ/3, dont on précisera les parties réelles et imaginaires.
2. Montrer que l’ensemble E des matrices de la forme [[a ;b ;c ;]][c ;a ;b ;]][b ;c ;a ;]] avec a, b et c réels, forme un espace vectoriel de dimension finie. Préciser une base de cet espace.
3. Montrer que le produit de deux matrices de E appartient aussi à E.

Étude matricielle

On note I la matrice identité d’ordre 3, J = [[0 ;0 ;1 ;]][1 ;0 ;0 ;]][0 ;1 ;0 ;]] et K = J².

1. Calculer les coefficients de K.
2. Montrer que tout vecteur propre de J est aussi un vecteur propre pour I et pour K.
3. Déterminer les éventuelles valeurs propres réelles et complexes de J en précisant les vecteurs propres associés.
4. La matrice J est-elle diagonalisable dans R ? et dans C ?
5. Montrer que la famille formée des vecteurs [[1 ;]][1 ;]][1 ;]], [[1 ;]][−1/2 ;]][−1/2 ;]], [[0 ;]][1 ;]][−1 ;]] constitue une base de R³.
   Exprimer la matrice représentative de cette base dans la base canonique et calculer la matrice inverse.