Devoir surveillé no 3

Devoir à faire en 4 h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Coefficients binomiaux

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

  1. Montrer que pour tout k ∈ ⟦2, n⟧, on a k(k − 1) (k parmi n) = n(n−1) (k−2 parmi n−2).
  2. En déduire une expression de ∑k=2nk(k − 1) (k parmi n) en fonction de n.
  3. Développer l’expression de la fonction x ↦ (1 + x)n et calculer sa dérivée seconde.
  4. Retrouver la valeur de la somme donnée en question 2.

Polynôme d’interpolation

On considère une fonction polynomiale P : x ↦ ax3 + bx2 + cx + d, où a, b, c, d sont 4 réels fixés.

  1. Déterminer les coefficients a, b, c, d pour que la fonction vérifie les quatre équations P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 4 et P(3) = 8.
  2. Étudier les variations de cette fonction, puis montrer qu’il existe un unique réel α tel que P(α) = 0.

Étude de fonction

Étudier le domaine, le signe, la dérivée, les variations, les limites, l’image et les asymptotes éventuelles de la fonction f : x ↦ (√(x2 − x + 3) + x + 1)/(3x − 2).

Inégalités

  1. Montrer que pour tout réel x > −1, on a ln(1 + x) ≤ x.
  2. En déduire que pour tout entier n > 0 et pour tout réel t ≤ n on a (1 − (t)/(n))n ≤ e−t.
  3. Soit n ∈ N∗. Étudier les variations de la fonction g : t ↦ t + n ln(1 − (t)/(n)) − ln(1 − (t2)/(n)) sur l’intervalle [0, √(n)[.
  4. En déduire la double inégalité 0 ≤ e−t − (1 − (t)/(n))n ≤ (t2)/(n) e−t pour tout t ∈ [0, √(n)[.
  5. Montrer que cette double inégalité reste valable sur [√(n), n].

Puissances de matrices

On pose J = [[−1 ;0 ;−2][1 ;1 ;1][1 ;0 ;2]] et M = [[−7 ;0 ;−8][4 ;1 ;4][4 ;0 ;5]].

  1. Calculer J2 et en déduire une expression de Jn pour tout n ≥ 2.
  2. Montrer que J n’est pas inversible.
  3. Déterminer deux réels a et b tels que aI + bJ = M.
  4. En déduire une expression pour Mn comme combinaison linéaire de I et J.

Suite avec une fonction de récurrence harmonique

On définit la fonction h : x ↦ (5x + 1)/(3x + 7).

  1. Montrer que la fonction h est bien définie sur R+ et que cet intervalle est stable par h.
  2. En déduire qu’en posant p0 = 0 et pour tout n ∈ N, pn+1 = h(pn) on définit une suite positive.
  3. Calculer p1 et p2. Montrer que la fonction h admet un unique point fixe négatif que l’on notera α.
  4. On pose pour tout n ∈ N, qn = pn − α. Montrer que la suite (qn) ne s’annule pas et que son inverse (rn) = (1/qn) vérifie la relation pour tout n ∈ N, rn+1 = (3 + 4rn)/(8).
  5. Montrer que l’équation x = (3 + 4x)/(8) admet une unique solution positive que l’on appellera β.
  6. Montrer que la suite (sn) = (rn − β) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  7. En déduire les expressions du terme général pour les suites (sn), (rn), (qn), et (pn).
  8. Déterminer les limites éventuelles de ces 4 suites.