Devoir surveillé n^o 2

Symbole somme

1. Démontrer que pour tout n ∈ N, on a ∑_k=0ⁿ k² = (n(n + 1)(2n + 1))/(6).
2. En déduire une expression de S_n = ∑_k=0ⁿ k × (n − k).

Valeur absolue

Résoudre les équation et inéquation suivantes d’inconnue réelle x en précisant à chaque fois le domaine d’étude.

• |6x − 5| − |2 + 3x| = 1
• √(7 − 2x) > |4x − 3|

Système

Soit m ∈ R. Résoudre le système suivant d’inconnues réelles x et y.

Étude de fonction

1. Étudier les variations de la fonction f : x ↦ (x² + 1)/(2x − 3) sur [(3)/(2), +∞[.
2. Montrer que la fonction f admet un unique point fixe sur cet intervalle. On le notera α.
3. Montrer que la restriction de la fonction f à [α, +∞[ est injective et qu’elle admet une réciproque sur ce même intervalle, dont on précisera une expression.

Famille de vecteurs

On pose u = (5 ; −1 ; 2), v = (−3 ; 2 ; 0), w = (1 ; 5 ; 4).

1. Calculer 2u − v + 3w.
2. Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v + c·w = (4 ; 1 ; 2).
3. La famille (u, v, w) est-elle libre ?

Dénombrement

On tire 6 fois de suite une boule d’une urne qui en contient 10, numérotées de 0 à 9, et on note les 6 numéros obtenus.

1. En supposant qu’on remet à chaque tirage la boule tirée dans l’urne (et qu’elle peut donc être tirée à nouveau), combien de séries de 6 numéros peut-on obtenir ?
2. Si au contraire, on ne remet pas les boules tirée dans l’urne, combien de séries de 6 numéros peut-on obtenir ?
3. On remet toutes les boules tirées dans l’urne et on recommence, mais cette fois on ne remet une boule dans l’urne que si elle porte le numéro 0. Combien de séries peut-on trouver sans jamais tirer 0 ? en ne le tirant qu’une fois ? deux fois ? trois fois ?

Coefficients binomiaux

1. Donner les valeurs des coefficients binomiaux de la forme (k parmi 7).
2. En déduire ∑_j=0³ (2j parmi 7).
3. Pour tout n ∈ N, expliciter la valeur de ∑_k=0ⁿ (k parmi n) puis de ∑_k=0ⁿ (−1)^k × (k parmi n).
4. En déduire la valeur de la somme de coefficients de rang pair : ∑_{k=0k pair}ⁿ (k parmi n)