Devoir surveillé n^o 1

Symbole somme

1. Calculer ∑_k=1⁶ k/2k + 1).
2. Décrire la somme 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ + 1024 à l’aide d’un symbole somme.
3. Démontrer que pour tout n ∈ N on a ∑_k=0ⁿ 3^k = 3ⁿ⁺¹ − 1/2).

Résolution d’équations

Résoudre les équations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 4x² − 7 = 3x
• √(4 − 3x) = 5x − 2

Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont les quotients de termes successifs se rapprochent du nombre d’or. Ses premiers termes s’écrivent : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en calculant chaque terme comme la somme des deux termes précédents.

1. Calculer les trois termes suivants de la suite.
2. Comparer les trois quotients 5/3, 8/5 et 13/8.
3. Vérifier que l’équation x − 1 = 1/x) a une seule solution positive que l’on notera φ.
4. Calculer φ².
5. Comparer la valeur de φ avec celles des quotients de la question 2 puis représenter ces quatre nombres sur axe orienté.

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 3/4x − 1) ≥ 2x − 3/x + 5)
• √(2x² − 5x + 3) < 2

Démonstrations

1. Démontrer que tout entier naturel a la même parité que son carré.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗, le dernier chiffre de 6ⁿ est 6.
3. Démontrer que pour tout x ∈ R⁺ on a √(x) ≤ x + 1/2).

Étude de fonction (bonus)

Étudier le domaine de définition, les variations et les limites de la fonction f : x ↦ x² − 5x + 6/2x + 1) en précisant ses points d’annulation, puis représenter la courbe de la fonction avec sa tangente au point d’abscisse 1.