Devoir non surveillé n^o 2

Probabilités

Un atelier fabrique des pièces qui sont d’abord façonnées sur un premier type de machine puis finies sur un second type de machine.

1. Le façonnage est effectué en parallèle sur 3 machines M₁, M₂ et M₃.
   • M₁ façonne 1500 pièces par jour avec une proportion p₁ = 0,006 de défectueuses.
   • M₂ façonne 2000 pièces par jour avec une proportion p₁ = 0,008 de défectueuses.
   • M₃ façonne 2500 pièces par jour avec une proportion p₁ = 0,004 de défectueuses.
   De la production journalière, on extrait une pièce au hasard.
   1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.
   2. La pièce extraite est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle ait été façonnée par M₁ ? par M₂ ? par M₃ ?
2. Chaque pièce a une probabilité égale 0,015 d’être ratée lors de l'étape de finition, indépendamment du fait qu’elle ait été bien ou mal façonnée.
   1. Calculer la probabilité que les deux opérations aient été mal faites.
   2. Calculer la probabilité qu'une seule des opérations ait été mal faite.

Double intégration par parties

On note I = ∫₀^π e^x sin(x) dx. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer qu'on a I = e^π + 1 − I et en déduire la valeur de I.

Intégrale dépendant de ses bornes

1. Montrer que pour tout t ∈ R^+∗ on a t > ln(t).
2. En déduire que la fonction f : x ↦ ∫_x^2x (dt)/(t − ln(t)) est bien définie et dérivable sur R^+∗.
3. Calculer la dérivée de f.
4. Étudier les variations de f.
5. Pour tout x > 0, calculer ∫_x^2x (dt)/(t).
6. Montrer que lim_t→+∞ t^3/2((1)/(t−ln(t)) − (1)/(t)) = 0 .
7. En déduire qu’il existe A > 0 tel que pour tout x ≥ A on a (1)/(t−ln(t)) − (1)/(t) ≤ (1)/(t^3/2).
8. En déduire que lim_x→+∞ ∫_x^2x((1)/(t−ln(t)) − (1)/(t)) dt = 0 .
9. Montrer que f admet une limite en +∞ et que cette limite vaut ln(2).
10. Montrer que f est prolongeable en une fonction continue sur R⁺. Ce prolongement est-il dérivable à droite en 0 ?
11. Donner l’allure de la représentation graphique de f.