Pour tout n ∈ N∗,
montrer l’égalité
∑j=1nj × 3j
= 3/4) (1 − 3n(1 − 2n)).
Racine carrée de 3
L’objectif de cet exercice est de démontrer l’existence et l’unicité de la racine carrée de 3. On n’y utilisera donc pas les propriétés de la racine carrée vues en cours.
On pose A = {a ∈ R+ : a2 ≤ 3}.
Justifier que 0 ∈ A.
Pour tout a ∈ A, montrer que a ≤ 2. En déduire que A admet une borne supérieure.
On pose r = sup(A). Montrer que 1 ≤ r ≤ 2.
Montrer que [0 ; r[ ⊂ A.
Soit n ∈ N∗. Montrer que
r − 1/n ∈ A, puis
(r − 1/n)2 ≤ 3,
puis r2 − 3 ≤ 12/n.
Justifier que inf({12/n, n ∈ N∗}) = 0.
En déduire r ∈ A.
Montrer de même que pour tout n ∈ N∗
on a (r + 1/n)2 ≥ 3
d’où 3 − r2 ≤ 13/n.
En déduire r2 = 3.
Systèmes d’équations linéaires
Soit m ∈ R. Résoudre le système suivant d’inconnues réelles x et y :
{(5 − m)x − 2y = 4 ;7x − (4 + m)y = 14. ;
Fonctions
Étudier le domaine des fonctions f : t ↦ 2t/t + 3)
et g : t ↦ −t − 5/t + 3)
avec t ∈ R.
Montrer que la fonction f est injective puis déterminer son image et une expression de sa réciproque f−1.
Calculer une expression de la composée g ∘ f−1.
Résoudre pour tout t ∈ R ∖ {−3} l’inéquation
f(t) ≤ g(t).
En déduire la position relative des courbes de f et de g.
Étudier les variations des fonctions f et g et calculer leurs éventuels points fixes.