Concours blanc n^o 2

Devoir à faire en 4 h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Approximation de pi

On définit f(x) = (1)/(1 +x²) pour tout réel x. On prendra 8 cm par unité pour les représentations graphiques.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant les valeurs de la fonction en −1, 0 et 1, ainsi que les limites à l'infini et les éventuelles asymptotes.
2. Déterminer des équations pour les tangentes à la courbe de f en 0 et en 1.
3. Déterminer la position relative de la courbe de f par rapport à ces tangentes.
4. Montrer que la courbe de f admet un point d'inflexion d'abscisse positive, c'est-à-dire que la dérivée de f change de sens de variation en un réel α > 0 que l'on précisera.
5. Tracer la courbe représentative de la fonction f avec les tangentes calculées plus haut et le point d'inflexion.
6. Calculer l'aire 𝒜 du domaine du plan situé sous la courbe de f et au-dessus de l'axe des abscisses, entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1. Colorer ce domaine sur la figure.
7. Démontrer que pour tout x ∈ R on a 1 − x² ≤ (1)/(1 + x²) ≤ 1 − x² + x⁴.
8. En déduire un encadrement de 𝒜 puis de π.

Pièce truquée

On dispose d’une pièce de monnaie truquée avec deux côtés « face », et d’une pièce de monnaie normale avec un côté « pile » et un côté « face ».

1. On choisit une de ces deux pièces de façon équiprobable sans l’examiner et on la lance. Quelle est la probabilité que cette pièce affiche le côté « face » ? Si elle affiche effectivement le côté « face », quelle est la probabilité qu’il s’agissait de la pièce truquée ?
2. Si la pièce affiche « face » au cours de trois lancers successifs, quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la pièce truquée ?
3. On a malencontreusement rangé la pièce de monnaie truquée dans un sac avec n autres pièces normales, où n ≥ 2. Pour la retrouver, on renverse le sac et on étale les pièces sur une table.
   1. Quelle est la loi du nombre X de pièces côté « pile » visible ?
   2. On supprime toutes les pièces tombées du côté « pile » et on relance les autres.
      Calculer la loi du nombre Y de pièces restantes qui retombent côté « pile ».
      Préciser son espérance et sa variance.

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]] et B = [[3 ;1 ;1][1 ;3 ;1][1 ;1 ;3]].

1. Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire représenté par A dans la base canonique de R³, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
2. Calculer A² et exprimer le résultat linéairement en fonction de A.
   En déduire pour tout n ∈ N^∗ une expression de Aⁿ comme multiple de A.
3. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B² et la matrice identité.
4. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
5. Donner une expression de Bⁿ pour tout n ∈ N^∗.

Intégrales de Wallis

On définit pour tout n ∈ N, w_n = ∫₀^π/2 (sin(x))ⁿ dx.

1. Calculer w₀ et w₁.
2. Montrer que la suite (w_n) est décroissante.
3. Montrer que pour tout entier n on a w_n > 0.
4. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout entier n on a (n + 2) w_n+2 = (n + 1) w_n.
5. En déduire que pour tout entier n on a (n + 1)w_n+1 w_n = w₀ w₁.
6. Montrer que pour tout entier n on a 1 ≥ (w_n+1)/(w_n) ≥ (n + 1)/(n + 2).
7. En déduire que le quotient (w_n+1)/(w_n) converge lorsque n tend vers +∞.
8. En déduire que la suite (n w_n²) converge vers (π)/(2).
9. Montrer que pour tout entier n on a w_2n = ((2n)! π)/(2²ⁿ⁺¹(n!)²).

Série géométrique dérivée

1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, et pour tout s ∈ R⁺, on a (1 − s)² (∑_i=1ⁿ isⁱ⁻¹) = 1 − sⁿ(1 + n − sn).
2. Montrer que pour tout s < 1, la série ∑_i=1^+∞ isⁱ⁻¹ converge vers (1)/((1 − s)²).
3. Calculer ∑_i=0^+∞ (2i + 1)/(3ⁱ).