Épreuve de mathématiques – concours blanc n^o 1

Fonction logit

On définit pour tout p ∈ ]0 ; 1[, logit(p) = ln((p)/(1−p)).

1. Justifier que la fonction logit est bien définie et dérivable sur ]0 ; 1[ et préciser une expression de sa dérivée.
2. Déterminer les variations de la fonction logit et ses limites éventuelles en 0 et en 1.
3. Déterminer les éventuels points d’annulation de la fonction et une expression de la tangente en chacun de ces points.
4. Représenter la courbe de la fonction après avoir tracé ses éventuelles asymptotes et les tangentes calculées à la question précédente.
5. Montrer que la fonction logit est bijective sur son image et déterminer une expression de la réciproque.
6. La fonction logit est utilisée pour comparer des évolutions de proportion. Pour une proportion passant de la valeur p₁ à la valeur p₂, l’évolution est mesurée par la différence logit(p₂) − logit(p₁).
   Calculer la proportion des femmes pour chaque corps professionnel dans chaque tableau. On pourra arrondir les proportions en les donnant sous forme de pourcentage.
   En déduire l’évolution de la proportion de femmes entre les corps de Maitre de conférences et Professeur, dans les disciplines universitaires scientifiques d’abord, puis dans les disciplines universitaires littéraires.
   Le plafond de verre est-il comparable dans ces deux cas ?
   Nombre d’enseignants-chercheurs titulaires et stagiaires par corps et par sexe

   Dans les sections scientifiques

   	Hommes	Femmes	Total
   Maitres de conférences	11358	5562	16920
   Professeurs des universités	6679	1308	7987

   Dans les sections littéraires

   	Hommes	Femmes	Total
   Maitres de conférences	4683	5870	10553
   Professeurs des universités	2871	1575	4446

Vecteurs

1. Montrer que les vecteurs (1 ; 1 ; 2), (1 ; 2 ; 1) et (2 ; 1 ; 1) forment une base de R³, puis calculer les coordonnées du vecteur (1 ; 2 ; 3) dans cette base.
2. Soit m ∈ R. À quelle condition sur m les vecteurs u = (1 ; 1 ; m) et v = (1 ; m ; 1) sont-ils colinéaires ?
3. Dans le cas où u et v ne sont pas colinéaires, le vecteur w appartient-il à Vect(u, v) ?
   Quelles sont alors les coordonnées de w dans la base (u, v) ?
4. À quelle condition sur m les vecteurs u, v et w forment-ils donc une base de R³ ?

Code d’entrée

Une entrée d’immeuble est contrôlée par la saisie d’un code à 4 chiffres sur un appareil fixé au mur.

1. Combien y a-t-il de codes possibles ?
2. En examinant attentivement les touches de l’appareil, on s’aperçoit que 4 touches sont plus usées que les autres. En supposant que les 4 touches doivent être utilisées pour saisir le code, combien cela laisse-t-il de possibilités ?
3. L’usure étant plus nette sur 3 touches, on suppose qu’en fait les 4 chiffres doivent être composés avec ces 3 touches. Justifier alors qu’une touche doit être utilisée 2 fois, et calculer le nombre de codes possibles.

Vers la série harmonique

1. Montrer que pour tout x ∈ ]−1 ; +∞[ on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ (1)/(k) ≥ ∑_k=1ⁿ ln(1 + (1)/(k)).
3. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ ln(1 + (1)/(k)) = ln(n + 1).
4. Rappeler la limite de la fonction ln en +∞ et conclure.

Point fixe

Étudier la fonction g : x ↦ (3√(2x − x²) + 2 − x)/(6) sur son domaine de validité.
Montrer qu’elle admet un unique point fixe α. L’intervalle [0 ; α] est-il stable par g ?

Avec comparaison de croissance

On pose pour tout x ∈ R^+∗, f(x) = x^1/x.

1. Déterminer les variations et les éventuelles limites de la fonctions aux bornes de son domaine.
2. Justifier que la fonction est prolongeable par continuité en 0. La dérivée de f admet-elle une limite en 0 ?
3. Représenter la courbe de la fonction f.