Devoir surveillé n^o 3 de mathématiques en HK BL

Devoir à faire en 2h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Statistiques

Population des régions françaises

Région	Population (millions d'habitants)
Nord-Pas-de-Calais-Picardie	5,96
Ile de France	11,85
Haute-Normandie-Basse-Normandie	3,31
Champagne-Ardennes-Lorraine-Alsace	5,54
Bretagne	3,22
Pays de la Loire	3,6
Centre	2,56
Bourgogne-Franche-Comté	2,82
Poitou-Charentes-Limousin-Aquitaine	5,77
Auvergne-Rhône-Alpes	7,63
Midi-Pyrénées-Languedoc-Roussillon	5,57
Provence-Alpes-Côte-d'Azur	4,92
Corse	0,31

Les nouvelles régions françaises donnent lieu à une répartition de la population française donnée dans le tableau ci-contre.

1. Calculer la population moyenne et la population médiane pour les nouvelles régions françaises.
2. Combien faut-il considérer de régions au minimum pour représenter plus de la moitié de la population française ?
3. Regrouper les régions en quatre tranches : moins de 2 millions d'habitants, entre 2 et 5 millions d'habitants, entre 5 et 10 millions d'habitants, de 10 à 12 millions d'habitants.
   Calculer la population totale de chaque tranche et la représenter sur un histogramme avec un rectangle par tranche en mettant la taille des régions en abscisse (2 cm par million d'habitants) et la population totale en aire (5 cm² par million d'habitants).

Étude de fonction

Un estimateur sans biais de la valeur maximale pour une variable aléatoire discrète à valeurs équiprobables dans [[0 ; m]] peut se calculer à partir du maximum sur un échantillon de trois valeurs grâce à la fonction f : x ↦ x⁴ − (x − 1)⁴/x³ − (x − 1)³.

1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x⁴ − 24x³ + 18x² − 6x + 1.
3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2.
4. En déduire le signe de la fonction g puis les variations de f.
5. Montrer que la fonction f ne s'annule qu'en 1/2.
6. Déterminer les limites de f à l'infini et montrer que sa courbe admet une même droite asymptote d'équation y = ax + b en +∞ et en −∞.
7. Déterminer le signe de la différence f(x) − (ax + b) pour tout x ∈ R et en déduire la position relative de la courbe de f et de son asymptote.
8. Représenter graphiquement l'asymptote et la courbe de f.

Point fixe du cosinus

1. Montrer que l'intervalle [0 ; 1] est stable par la fonction cosinus.
2. Montrer qu'il existe un unique point fixe de la fonction cosinus sur l'intervalle [0 ; 1]. On le notera L. Montrer aussi qu'il n'y a pas de point fixe en dehors de cet intervalle.
3. On définit une suite (u_n) par u₀ = 0 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = cos(u_n).
   Montrer que pour tout n ∈ N on a |u_n+1 − L| ≤ sin(1) × |u_n − L|.
   En déduire que la suite (u_n) converge vers L

Exponentielle et inégalités

1. Montrer que pour tout réel x > −1 on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N* et pour tout réel t ≤ n on a (1 − t/n)ⁿ ≤ e^−t.
3. Étudier les variations de la fonction h : t ↦ t + n ln(1 − t/n) − ln(1 − t²/n) sur [0, √n[ .
4. Montrer que pour tout t ∈ [0, √n] on a 0 ≤ e^−t − (1 − t/n)ⁿ ≤ t²/n e^−t.
5. Montrer que les inégalités précédentes sont encore valables sur t ∈ [√n ; n].