Devoir surveillé de mathématiques n^o 2

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l'élève. Les résultats doivent être encadrés.

Histogramme

L'évolution de la population en France métropolitaine est évaluée par l'Insee pour 2015 selon le tableau suivant.

1. En supposant que chaque tranche d'âge est uniforme et en supposant que les effectifs des personnes de plus de 90 ans sont négligeables par rapport à l'approximation réalisée, calculer l'âge moyen et l'âge médian en France en 2015.
2. Calculer le nombre approximatif de personnes dans chaque tranche d'âge.
3. Construire l'histogramme représentant la densité de population dans chaque tranche d'âge. On prendra un centimètre pour cinq ans en abscisse et un centimètre carré pour représenter 1 % de la population en unité d'aire.
4. Préciser combien de personnes sont ainsi représentées par centimètre carré dans l'histogramme.

Système

Soit m ∈ R. Résoudre le système suivant d'inconnues réelles x et y : { mx + y = 2 ; x + my = −2. }

Inéquation

Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue x réelle : 2x/(x + 3) − 5/(3 − x) ≥ 1 .

Suite récurrente

On définit une suite par récurrence en posant u₀ = 1 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = (9u_n + 2) / (3u_n + 4).

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f : x ↦ (9x + 2) / (3x + 4).
2. Vérifier que l'intervalle R⁺ est stable par f, c'est-à-dire que pour tout x ∈ R⁺ on a f(x) ∈ R⁺.
3. En déduire que la suite (u_n) est bien définie et positive.
4. Déterminer les points fixes de f, c'est-à-dire les solutions de l'équation f(x) = x.
5. En notant α le point fixe positif de f et β son point fixe négatif, on pose pour tout n ∈ N, v_n = (u_n − α) / (u_n − β).
   Montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 3/10.
6. Calculer v₀ puis en déduire le terme général de la suite (v_n) puis celui de la suite (u_n).
7. Montrer que la suite (u_n) converge en précisant sa limite.

Équation trigonométrique

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation 2 cos²(α) + 3 sin(α) = 0.

Fonction affine et réciproque

Soit (a, b) ∈ R². Pour tout x ∈ R, on pose f(x) = ax + b.

1. En supposant a ≠ 0, montrer que la fonction f est bijective de R dans R.
2. Calculer la composée g = f ∘ f.
3. À quelle condition sur a et b la fonction g est-elle égale à l'identité sur R ?