Devoir surveillé n^o 1 de mathématiques en HK BL

Devoir à faire en 2h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron donne ces premières approximations de √2 :

• x₁ = 1
• x₂ = (1 + 2)/2
• x₃ = (3/2 + 2/(3/2))/2

1. Réduire les expressions de ces trois valeurs et les placer sur un axe orienté en justifiant l'ordre annoncé.
   Montrer aussi que √2 est strictement compris entre x₁ et x₃.
2. Montrer que la première approximation est la partie entière de √2.
3. Montrer que pour la dernière approximation, l'erreur absolue est inférieure à 0,1.

Inéquations

Déterminer l'ensemble des solutions des inéquations suivantes.

1. |2x + 5| − |x + 3| ≥ 2
2. 2/(2 − x) + 1/x ≤ 3

Équation avec radical

Résoudre l'équation suivante en précisant au préalable le domaine d'étude : √(4 − 3x) = 5x − 2.

Symbole somme et récurrence

Démontrer pour tout n ∈ N* la formule ∑_k=1ⁿ (k × 2^k−1) = 1 + 2ⁿ(n − 1).

Intervalle de fluctuation

À deux jours d'un referendum, 900 personnes répondent à un sondage et 53 % d'entre eux déclarent vouloir voter « non ». Cette réponse apparait donc avec une fréquence f = 0,53.

La formule de l'intervalle de fluctuation vue en classe de seconde relie cette fréquence à la proportion p sur la population totale du pays selon l'inégalité |p − f| ≤ 1/√n, où n est le nombre de personnes ayant répondu au sondage.

Cette formule est une version très simplifiée de l'inégalité obtenue avec l'approximation de la loi binomiale par la loi normale, qui s'écrit |p − f| ≤ 1,96√(p(1 − p)/n)

1. Résoudre séparément chacune des deux inéquations ci-dessus, d'inconnue p.

   Pour la deuxième inéquation, on pourra travailler avec des erreurs relatives de 1 % sur les coefficients, les calculs pouvant faire apparaitre des nombres supérieurs à 10⁵.

2. Est-il envisageable que le « oui » l'emporte ?