Exercices sur la représentation matricielle

1. Démontrer que l'intégrale ∫₀¹ exp(−rx)/√(1 − x) dx converge pour tout r ≥ 1. (ENS 2013)
2. Soit α ∈ R^∗+. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la fonction t ↦ cos(t)/t^α est intégrable en +∞. (Ecricome 1998 Problème 1)
3. Soit A ∈ R[X] un polynôme non nul et n ∈ N^∗. On considère l'endomorphisme φ, qui à tout polynôme P ∈ R_n−1[X] associe le reste de la division euclidienne de A × P par Xⁿ. Montrer que la matrice M, représentative de φ dans la base canonique, a pour coefficients ∀i, j,  M_i,j = a_i−j si i ≥ j et 0 sinon.
   ENS 2010 exercice II question 1

Annales

• Ecricome 1998 problème 2 : suites complexes récurrentes linéaire d'ordre p.
• Ecricome 2006 problème 1 : matrice de l'endomorphisme P ↦ P + P′ dans la base canonique de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
• Ecricome 2010 problème 1.1 : décomposition d'un endomorphisme sur une base de deux projecteurs pour le calcul des puissances.
• ENS 2007 problème partie 5 : représentation des endomorphismes nilpotents en dimension 2, 3 ou 4.