Exercices sur la représentation matricielle

Cours
  1. Démontrer que l'intégrale 01 exp(−rx)/1 − x dx converge pour tout r ≥ 1. (ENS 2013)
  2. Soit αR∗+. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la fonction tcos(t)/tα est intégrable en +∞. (Ecricome 1998 Problème 1)
  3. Soit AR[X] un polynôme non nul et nN. On considère l'endomorphisme φ, qui à tout polynôme PRn−1[X] associe le reste de la division euclidienne de A × P par Xn. Montrer que la matrice M, représentative de φ dans la base canonique, a pour coefficients i, j,  Mi,j = aij si ij et 0 sinon.
    ENS 2010 exercice II question 1

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