Exercices sur les estimateurs ponctuels et intervalles de confiance

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Exercice
Soit a ∈ R+∗ et (X1, … , Xn) un échantillon de variables aléatoires uniformes sur l’intervalle [0, a]. On pose M = max(X1, … , Xn), L = min(X1, … , Xn) et X = 1/n ∑i=1n Xi.
  1. Déterminer l’espérance des variables aléatoires M, L et X.
  2. En déduire trois estimateurs sans biais de a.
  3. Calculer la variance de ces trois estimateurs. Sont-ils convergents ? Quel est le meilleur estimateur ?
  4. Un tirage de 10 nombres entre 0 et a donne des nombres dont les parties entières sont : 17, 476, 80, 209, 260, 196, 262, 76, 1, 463. À quelle valeur peut-on estimer a ?
Exercice
Soit N ∈ N∗. On réalise une série de N lancers d’une pièce équilibrée à pile ou face et à chaque fois que l’on réussit son pari, on gagne un euro, sinon on perd un euro.
  1. Justifier que le gain total d’une série de lancers s’écrit X = ∑i=1N Yi où (Y1, … , YN) est une famille de variables aléatoires de Bernoulli à valeurs dans {−1 ; 1}, puis calculer l’espérance et la variance de ces variables.
  2. On considère un échantillon de scores (X1, … , Xn). Proposer un estimateur sans biais de N à partir de cet échantillon.
Exercice
On considère un échantillon de variables de Poisson (X1, … , Xn).
  1. Déterminer un estimateur du paramètre λ et calculer sa variance.
  2. Calculer un intervalle de fluctuation à 95 % pour cet estimateur et en déduire un intervalle de confiance pour le paramètre.
Exercice
On considère une urne contenant N boules indiscernables au toucher mais munies d’identifiants qui les distinguent à la vue. On tire des boules successivement et avec remise en relevant les identifiants jusqu’à obtention d’un identifiant déjà relevé.
  1. Pour tout k ∈ N∗, calculer la probabilité que les k premiers identifiants soient tous distincts. On pourra noter Ak cet évènement.
  2. Pour tout k ∈ N∗, calculer la probabilité que la première répétition ait lieu lors du k-ième tirage. On pourra noter T la variable aléatoire qui renvoie le rang de la première répétition.
  3. En notant un = P(T = k), déterminer un développement limité à l’ordre 2 en 1/n du quotient un+1/un.
  4. En approchant le quotient par ce développement limité, déterminer la valeur de n qui maximise un, et qu’on appelle estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance.
  5. À l’aide de la formule de Stirling n! ∼n→+∞ (n/e)n √2πn, calculer un équivalent de P(T ≤ k) lorsque n tend vers +∞ et en déduire un intervalle de fluctuation pour n

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