Exercices sur les vecteurs réels

Géométrie analytique

Exercice
Pour chacune des descriptions de droites ci-dessous, déterminer une représentation paramétrique, une équation cartésienne et l’équation réduite.
Exercice
Déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites portant les côtés du triangle dont les sommets ont pour coordonnées A : (2 ; 4), B : (4 ; −3), C : (−1 ; 1).
Exercice
Représenter les droites d’équations respectives 5x − 3y = 7 et 3xy = 3 et déterminer les coordonnées du point d’intersection par la résolution d’un système.
Exercice
Déterminer l'intersection des droites d'équations respectives 2x + 3y + 7 = 0 et 5xy + 4 = 0.
Exercice
Dans le plan muni d'un repère cartésien, déterminer l'intersection des droites d'équations y = 2x + 7 et y = 4 − x puis déterminer une équation sous forme canonique de la droite passant par les points A (−2 ; 3) et B (3 ; −1).
Exercice
Soit mR. Déterminer l'intersection des droites d'équations respectives (4 − m)x − 3y + 2 = 0 et 3x − (2m + 3)y + 6 = 0.
Exercice
Soit tR. Déterminer les points d’intersection des droites d’équation (t + 4)x − 3y = 5 + 2t et 3x + (2t − 3)y = 5 − 2t.
Exercice
La distance entre deux points A : (xA, yA) et B : (xB, yB) s’écrit AB = ((xAxB)2 + (yAyB)2).
  1. Calculer la distance AB avec A : (1 ; 5), B : (3 ; −1).
  2. Exprimer la distance d’un point M(x, y) au point A.
  3. Déterminer tous les points qui sont à égale distance de A et B.
  4. Déterminer les points qui sont à égale distance de A, B et C : (−2, 1).

Systèmes d’équations linéaires

Exercice
Résoudre les systèmes suivants d'inconnues réelles x et y, avec un éventuel paramètre mR.
Exercice
Résoudre le système suivant de paramètre tR et d’inconnues réelles x et y : {(t + 4)x − 3y = 5 + 2t ;3x + (2t − 3)y = 5 − 2t.
Exercice
Résoudre les systèmes suivants à l'aide de la méthode du pivot de Gauss
Exercice
Soit mR. Résoudre le système d'équations linéaires suivant : {mx + y + z = 1 ; x + my + z = m ; x + y + mz = m2.
Exercice
Déterminer les coefficient réels d’un polynôme du second degré P : xax2 + bx + c tel que P(1) = 1, P(2) = 2 et P(3) = 4.
Exercice
Déterminer les coefficients du polynôme du second degré P tel que P(1) = 3, P(2) = 1 et P(3) = 0.
Quelles sont les solutions en remplaçant la deuxième condition par P′(2) = 1 ? et par P′(2) = 0 ?
Exercice : Polynôme d’interpolation

Déterminer les coefficients a, b, c, d pour que la fonction P : xax3 + bx2 + cx + d vérifie les quatre équations P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 4 et P(3) = 8.

Exercice
Soit nN avec n ≥ 2. Résoudre le système formé par les équations xi + xi+1 = 0 pour tout entier i entre 1 et n−1 et l'équation xn + x1 = 0.

Familles de vecteurs

Exercice
Justifier que les vecteurs (1 ; 3) et (2 ; 4) forment une base de R2 et déterminer les coordonnées du vecteur (1 ; 5) dans cette base.
Exercice
On note u = (1, 2, 3), v = (−1, 1, 1), w = (5, −4, 1).
  1. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice de R3 ? Est-ce une base ?
  2. Déterminer une décomposition du vecteur x = (1, 1, 1) sur cette famille.
Exercice
On pose u = (2 ; −3 ; 2), v = (5 ; 3 ; −4), w = (3 ; −1 ; 0).
  1. Calculer u − 3·vw.
  2. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice ?
  3. Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v + c·w = (−1 ; −2 ; 2)
Exercice
On pose u = (5 ; −1 ; 2), v = (−3 ; 2 ; 0), w = (1 ; 5 ; 4).
  1. Calculer 2uv + 3w.
  2. Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v + c·w = (4 ; 1 ; 2).
  3. La famille (u, v, w) est-elle libre ?
Exercice
  1. Montrer que les vecteurs (1 ; 1 ; 2), (1 ; 2 ; 1) et (2 ; 1 ; 1) forment une base de R3, puis calculer les coordonnées du vecteur (1 ; 2 ; 3) dans cette base.
  2. Soit mR. À quelle condition sur m les vecteurs u = (1 ; 1 ; m) et v = (1 ; m ; 1) sont-ils colinéaires ?
  3. Dans le cas où u et v ne sont pas colinéaires, le vecteur w = (m, 1, 1) appartient-il à Vect(u, v) ?
    Quelles sont alors les coordonnées de w dans la base (u, v) ?
  4. À quelle condition sur m les vecteurs u, v et w forment-ils donc une base de R3 ?
Exercice
On pose u = (1 ; 1 ; 1), v = (2 ; 3 ; −1), w = (4 ; 9 ; 1).
  1. Montrer que la famille (u, v, w) est libre et génératrice dans R3.
  2. Décomposer le vecteur (1 ; 2 ; 3) sur cette famille.
  3. On s’intéresse plus généralement à une famille de vecteurs de la forme u = (1 ; 1 ; 1), y = (pqr), z = (p2q2r2)
    p, q et r sont trois réels quelconques.
    1. La famille (u, y, z) peut-elle être libre si p = q ?
    2. Soit (a, b, c) ∈ R3 tel que a·u + b·y + c·z = 0. Montrer que la fonction xcx2 + bx + a s’annule en p, q et r.
    3. En déduire que la famille est libre si les réels p, q et r sont tous différents deux à deux.
Exercice
À quelle condition sur les réels a, b les familles de vecteurs ci-dessous sont-elles des bases ? Déterminer une équation de l’espace engendré dans le cas contraire.

Sous-espaces vectoriels

Exercice
Déterminer une base et la dimension de l’espace des solutions pour chacun des systèmes homogènes définis plus haut.
Exercice
Déterminer une base et la dimension de chacun des espaces suivants :

Ajouts

Problème

On considère 4 points de coordonnées A(1, 0), B(2, 3), C(4, 1), D(5, 4).

  1. Représenter les 4 points dans le plan.
  2. Calculer les coordonnées du point moyen (x¯, y¯).
  3. Expliciter la liste des différences (xix¯) et (yiy¯).
  4. Calculer la valeur de la variance Vx et la valeur de la covariance covx,y.
  5. En déduire que la droite de régression linéaire a pour équation y = 3/5 x + 1/5 et tracer cette droite.
  6. On considère un point M(0, t) sur l'axe des ordonnées, avec tR. Déterminer une équation de la droite (MD).
  7. En déduire l'intersection de la droite (MD) avec la droite de régression.