Intégrale généralisée

L’intégration sur un segment se généralise dans certains cas pour des fonctions continues sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, y compris sur des intervalles non bornés.

Intégrabilité

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert [a, b[.
On dit que l’intégrale ∫_a^b f(t) dt converge si la fonction x ↦ ∫_a^x f(t) dt admet une limite finie lorsque x tend vers b et dans ce cas on pose ∫_a^b f(t) dt = lim_x→b ∫_a^x f(t) dt.
De même, si f est une fonction continue sur ]a, b],
on dit que ∫_a^b f(t) dt converge si la fonction x ↦ ∫_x^b f(t) dt admet une limite finie lorsque x tend vers a et dans ce cas on pose ∫_a^b f(t) dt = lim_x→a ∫_x^b f(t) dt.

Relation de Chasles: Soit (a, b) ∈ R tel que a < b. Soit c ∈ [a, b[.
Si f est une fonction continue sur [a, b[ alors l’intégrale ∫_a^b f(t) dt converge si et seulement si l’intégrale ∫_c^b f(t) dt converge.
De même, si f est une fonction continue sur ]a, b] alors les intégrales ∫_a^b f(t) dt et ∫_a^c f(t) dt convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.
En cas de convergence on a ∫_a^b f(t) dt = ∫_a^c f(t) dt + ∫_c^b f(t) dt.

Démonstration

Dans le premier cas, d’après l’additivité de l’intégrale sur un segment, pour tout x ∈ ]c, b[ on a ∫_a^x f(t) dt = ∫_a^c f(t) dt + ∫_c^x f(t) dt, donc en utilisant les règles opératoires sur les limites de fonction, on obtient bien l’équivalence voulue.
Le deuxième cas se démontre de manière analogue.

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert ]a, b[. Soit c ∈ ]a, b[.
On dit que la fonction f est intégrable (à droite) en a si l’intégrale ∫_a^c f(t) dt converge
et on dit qu’elle est intégrable (à gauche) en b si l’intégrale ∫_c^b f(t) dt converge.
Si elle est intégrable aux deux bornes de l’intervalle alors elle est dite intégrable sur l’intervalle ]a, b[ et son intégrale généralisée est définie à l’aide de la relation de Chasles.

Remarque

Une fonction continue sur un intervalle est donc intégrable en une borne de cet intervalle si et seulement si une primitive de cette fonction a une limite finie en cette borne.

La fonction inverse n’est pas intégrable en +∞, ni en −∞, ni en 0 (ni à droite ni à gauche).
Pour tout λ ∈ R^∗+, la fonction x ↦ e^−λx est intégrable en +∞ avec ∫₀^+∞ e^−λt dt = 1/λ.
La fonction logarithme est intégrable en 0 mais pas en +∞.

Démonstration

La fonction inverse admet la fonction logarithme comme primitive sur R^+∗, qui diverge en 0 et en +∞.
Pour tout x ∈ R⁺ on a∫₀^x e^−λt dt = −1/λ(e^−λx − 1).
Pour tout x ∈ ]0 ; 1[ on a∫_x¹ ln(t) dt = [t ln(t)]_x¹ − ∫_x¹ dt = −xln(x) − (1 − x) donc par passage à la limite en 0, on trouve ∫₀¹ ln(t) dt = − 1.

Critère de Riemann: Soit α ∈ R. La fonction x ↦ 1/x^α est intégrable en +∞ si et seulement si on a α > 1. Elle est intégrable en 0 si et seulement si on a α < 1.

Démonstration

On écarte le cas α = 1, qui correspond à la fonction inverse dont l’intégrabilité a déjà été traitée.

Une primitive de la fonction puissance s’écrit F : x ↦ 1/((1 − α)x^α−1). On distingue alors deux cas.

Si α > 1 alors on a lim_x→+∞ F(x) = 0 et lim_x→0 F(x) = −∞.
Si α < 1 alors on a lim_x→+∞ F(x) = +∞ et lim_x→0 F(x) = 0.

Propriété

Toute fonction prolongeable par continuité en une borne finie de son intervalle de définition est intégrable en cette borne.

Propriétés

On retrouve la plupart des propriétés de l’intégrale sur un segment.

Positivité: Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non).
On a alors ∫_a^b f(t) dt ≥ 0.
Stricte positivité: Soit f une fonction continue, positive et intégrable sur un intervalle I non dégénéré.
Si la fonction f est d’intégrale nulle sur I alors elle est nulle sur I.
Linéarité: L’ensemble des fonctions intégrables sur un intervalle non dégénéré forme un espace vectoriel et l’intégrale constitue une forme linéaire sur cet espace.
Croissance: Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non).
Si on a f ≤ g alors on obtient ∫_a^b f(t) dt ≤ ∫_a^b g(t) dt.

Critères de convergence

Théorème de comparaison: Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non) tel que pour tout x ∈ ]a, b[ on ait 0 ≤ f(x) ≤ g(x) .
Si la fonction g est intégrable alors la fonction f aussi et dans ce cas on a 0 ≤ ∫_a^b f(t) dt ≤ ∫_a^b g(t) dt.

Démonstration

Supposons que la fonction g est intégrable. Il existe c ∈ ]a, b[ et on obtient alors

pour tout x ∈ [c ; b[, 0 ≤ ∫_c^x f(t) dt ≤ ∫_c^x g(t) dt ≤ ∫_c^b g(t) dt,
pour tout x ∈ ]a ; c], 0 ≤ ∫_x^c f(t) dt ≤ ∫_x^c g(t) dt ≤ ∫_a^c g(t) dt.

Finalement, une primitive de f est bornée sur l’intervalle ]a, b[ et elle est croissante par positivité de f donc elle converge en a et en b.

En outre, on a 0 ≤ ∫_c^b f(t) dt ≤ ∫_c^b g(t) dt et 0 ≤ ∫_a^c f(t) dt ≤ ∫_a^c g(t) dt donc on trouve l’encadrement voulu par addition des inégalités.

En particulier, si une fonction positive n’est pas intégrable sur un intervalle, toute fonction qui lui est supérieure ne sera pas non plus intégrable. Cette propriété peut aussi s’élargir sous la forme suivante.

Propriété

Toute fonction continue encadrée par des fonctions intégrables sur un intervalle I est aussi intégrable sur I et l’encadrement passe à l’intégrale.

Démonstration

Soient f, g et h trois fonctions continues sur un intervalle I non dégénéré.

Supposons que les fonctions f et h soient intégrables sur I et que pour tout x ∈ I on ait f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Alors on trouve 0 ≤ g − f ≤ h − f et la fonction h−f est intégrable sur I donc on obtient que la fonction h−f est aussi intégrable sur I, et la fonction f = h − (h − f) est intégrable sur I.

Intégrale de Gauss: On peut démontrer la convergence de l’intégrale suivante : ∫_−∞^+∞ exp((−x²)/(2)) dx = √(2π).

Démonstration

L’encadrement 0 ≤ exp(−x²/2) ≤ 2/x² pour tout x ∈ R* démontre la convergence de l’intégrale. Le calcul explicite de la valeur demande un peu plus de travail.

Théorème de négligeabilité: Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle telles que f soit négligeable par rapport à g en une borne a de cet intervalle avec g positive au voisinage de a et intégrable en a.
Alors la fonction f est aussi intégrable en a.

Démonstration

On obtient l’encadrement −g ≤ f ≤ g au voisinage de a donc l’extension du théorème de comparaison permet de conclure.

Critère des équivalents de fonction: Si une fonction f est définie, continue et de signe constant et intégrable en une borne a de cet intervalle alors toute fonction équivalente à f en a est aussi intégrable en a.
Réciproquement, toute fonction de signe constant et équivalente en a à une fonction non intégrable en a n’est pas non plus intégrable en a.

Démonstration

Soit g une fonction équivalente à f en a. Alors la fonction g−f est négligeable par rapport à f en a donc par application du théorème précédent, la fonction g−f est intégrable en a d’où par addition, la fonction g = f + (g−f) est aussi intégrable en a.

Convergence absolue

Définition

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ]a, b[. L'intégrale ∫_a^b f(t) dt est dite absolument si l'intégrale ∫_a^b |f(t)| dt converge.

Inégalité triangulaire: Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non). Si l’intégrale de f est absolument convergente sur cet intervalle alors elle est aussi convergente et on a |∫_a^b f(t) dt| ≤ ∫_a^b |f(t)| dt.

Démonstration

Il suffit d’intégrer l’encadrement −|f| ≤ f ≤ |f|.