Fonctions de deux variables

Vocabulaire général

Définition
Une fonction réelle de deux variables réelles est une application d'une partie de R2 vers R.
Définition
Soit F une fonction de deux variables. Le graphe de la fonction est l'ensemble {(x, y, z) ∈ R3 : z = F(x, y)}.
Dans ce cadre, le plan des variables est le plan d'équation z = 0 et l'axe vertical est la droite vectorielle engendrée par le 3e vecteur de la base canonique (0 ; 0 ; 1).
Définition
Soit F une fonction de deux variables et kR. La courbe de niveau k (ou ligne de niveau) est l'ensemble des vecteurs (x1, x2) tels que F(x1, x2) = k.
Remarque
La courbe de niveau k est l’image par la projection orthogonales sur le plan des variables, de l'intersection du graphe avec le plan horizontal.

Dérivées partielles

Définition
Soit F une fonction de deux variables. Les dérivées partielles de F sont les fonctions de deux variables 1F et 2F définies par 1F(x1, x2) = limh→0 (F(x1 + h, x2) − F(x1, x2))/(h) et 2F(x1, x2) = limh→0 (F(x1, x2 + h) − F(x1, x2))/(h).

On utilise aussi les notations 1F(x1, x2) = (F(x1, x2))/(x1) et 2F(x1, x2) = (F(x1, x2))/(x2).

Définition
Soit F une fonction de deux variables. On dit que F admet un minimum local (resp. un maximum local) en un point aR2 s'il existe un réel r > 0 tel que pour tout x ∈ B(a, r) on ait F(x) ≥ F(a) (resp. F(x) ≤ F(a)).
On dit que F admet un extremum local en a si elle admet un maximum local ou un minimum local en a.
Un extremum local est dit strict si l'inégalité est stricte pour tout x ∈ B(a, r) ∖ {a}.
Propriété
Soit F une fonction de deux variables définie sur un voisinage de aR2. Si F admet un extremum local et des dérivées partielles en a alors ces dérivées partielles s'annulent en a.
Démonstration
Avec les conditions de l'énoncé, si F admet un minimum local en a, alors le numérateur des taux d'accroissement est toujours positif, mais le dénominateur change de signe, donc la limite commune est à la fois positive et négative, donc elle est nulle.
Définition
On appelle point critique d'une fonction F tout point en lequel les dérivées partielles existent et s'annulent.

Tout extremum local intérieur est atteint en un point critique mais la réciproque est fausse : la fonction (x1, x2) ↦ x12x22 admet un unique point critique en (0 ; 0) où elle s'annule, mais elle admet des valeurs positives et négatives à l'intérieur de toute boule ouverte centrée en ce point.

Fonctions quadratiques

Soit q une fonction quadratique, avec (λ1, λ2) ∈ R2 ∖ (0 ; 0) et (α1, α2) ∈ R2. La fonction f : tq(λ1t + α1, λ2t + α2) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2. En outre, si (α1, α2) est un point critique pour q, alors il existe (A, C) ∈ R2 tel que pour tout tR, f(t) = At2 + C. On distingue alors 3 cas.

Les points critiques d'une fonction quadratique de la forme q(x1, x2) = ax12 + bx1x2 + cx22 + dx1 + ex2 + f sont les solutions du système linéaire {2ax1 + bx2 + c = 0 ;bx1 + 2cx2 + d = 0 qui est de Cramer si et seulement si 4acb2. Dans le cas contraire, la fonction quadratique est dite dégénérée et elle peut n'admettre aucun point critique (dans le cas d'une fonction linéaire non constante notamment) ou admettre une droite de points critiques, voire tout le plan si la fonction est constante.

Si (α1,α2) est un point critique pour q(x1, x2) = ax12 + bx1x2 + cx22 + dx1 + ex2 + f, alors en posant X1 = x1α1 et X2 = x2α2, on trouve q(x1, x2) = aX12 + bX1X2 + cX22 + q(α1, α2) et le point critique en (α1,α2) pour q est de même nature que le point critique en (0 ; 0) pour la fonction quadratique Q(X1, X2) = aX12 + bX1X2 + cX22.

Propriété
La fonction quadratique définie par q(x1, x2) = ax12 + bx1x2 + cx22 admet un extremum local (strict) en (0 ; 0) si et seulement si le discriminant Δ = b2 − 4ac est (strictement) négatif.
Dans ce cas, les coefficients a et c sont nécessairement de même signe, et cet extremum est un minimum si et seulement si a et b sont positifs.
Démonstration
On distingue trois cas selon que les coefficients a et c s'annulent ou non.

Si a ≠ 0, on trouve la forme canonique q(x1, x2) = a(x12 + (bx1x2)/(a) + (cx22)/(a)) = a((x1 + (bx2)/(2a))2 + (4acb2)/(4a2)x22) d'où le fait que l'expression (x1 + (bx2)/(2a))2 + (4acb2)/(4a2)x22 soit positive losque le discriminant est négatif. La fonction q s'annule sur toute la droite d'équation x1 + (bx2)/(2a) = 0 si le discriminant est nul, mais ne s'annule que lorsque x1 = x2 = 0 si le discriminant est strictement négatif.

Si le discriminant est strictement positif, l'expression a des valeurs négatives sur la droite d'équation x1 + (bx2)/(2a) = 0, et des valeurs positives sur la droite d'équation x2 = 0, donc il n'y a pas d'extremum local en (0 ; 0).

Si a = 0, mais c ≠ 0, on utilise la forme canonique de q avec factorisation par c et on obtient le même résultat.

Si a = c = 0, les fonctions tq(t, t) = bt2 et tq(t, −t) = −bt2 admettent des extrema locaux opposés en 0.

Un exemple de fonction quadratique est donné par la recherche de la droite de régression linéaire par la méthode des moindres carrés pour une série statistique à deux variables ((x1, y1), … , (xn, yn)) ∈ R2n dans laquelle les valeurs (xi) ne sont pas toutes égales, autrement dit telles que Vx > 0. L'écart quadratique entre la droite d'équation y = ax + b et le nuage de points est défini par la somme f(a, b) = i=1n(yi − (axi + b))2.

Propriété
L'écart quadratique est une fonction quadratique admettant un minimum en son point critique défini par a = (covx,y)/(Vx) et b = ¯(y)a¯(x).
Démonstration
Avec les notations précédentes, on trouve f(a, b) = i=1n (yi2 + a2xi2 + b2 − 2axiyi − 2byi + 2abxi) et 1f(a, b) = −2i=1nxi(yiaxib) et 2f(a, b) = −2i=1n(yiaxib).

L'annulation des dérivées partielles se ramène aux équations i=1nxiyi = ai=1nxi2 + bi=1nxi et i=1nyi = ai=1nxi + nb.
La deuxième équation se réécrit b = ¯(y)a¯(x) et la première donne alors (1)/(n)i=1nxiyi(a)/(n)i=1nxi2 = b¯(x) = ¯(x)¯(y)a¯(x)2 d'où ¯(xy)¯(x)¯(y) = a(¯(x2)¯(x)2), ce qui donne l'égalité annoncée.

Le discriminant s'écrit Δ = 4n2¯(x)2 − 4i=1nxi2 = −4 Vx < 0, donc l'écart quadratique admet bien un extremum local.

Dérivées partielles du second ordre

Définition
Soit F une fonction de deux variables admettant des dérivées partielles. Les dérivées d'ordre 2 sont les dérivées partielles des dérivées partielles. On note i,jF la dérivée partielle par rapport à la i-ème variable de la dérivée par rapport à la j-ième variable, si elles existent.
Exemple
Les dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction linéaires sont nulles, celles d'une fonction quadratique sont constantes.
Théorème de Schwarz
Si F admet des dérivées partielles d'ordre 2 qui sont toutes continues sur un ouvert U alors 1,2F = ∂2,1F.
Propriété
Soit α un point critique de F. Si le discriminant de la fonction quadratique q(x1, x2) = ∂1,1F(α)x12 + 2∂1,2F(α)x1x2 + ∂2,2F(α)x22 est strictement négatif, alors la fonction F admet un extremum local en α de même nature que le point critique de q en (0 ; 0).