Dans tout le problème on fixe n ∈ N*.

Cas discret

Soit b ∈ N*. On considère une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (IID) (U1, …, Un) de loi uniforme sur l’ensemble ⟦1, b⟧, puis on définit la variable aléatoire M = max(U1, …, Un). Pour tout m ∈ ⟦1, b⟧ on a P(M = m) = P(M ≤ m) − P(M ≤ m − 1) = mn − (m − 1)n/bn.

Si on remplace le paramètre b par une variable aléatoire B discrète dans N* avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, c’est-à-dire PB = b(U1 = u1, …, Un = un) = 1/bn, alors on montre la loi conditionnelle de B par rapport à (U1, …, Un) ne dépend que de M = max(U1, …, Un).

En effet, P∀i,Ui = ui(B = b) = P(B = b et ∀i, Ui = ui) / ∑k ≥ m P(B = k et ∀i, Ui = ui) = P(B = b) / bn / ∑k ≥ m P(B = k) / kn
et PM = m(B = b) = P(B = b et M = m) / ∑k ≥ m P(B = k et M = m) = P(B = b) × (mn − (m − 1)n) / bn / ∑k ≥ m P(B = k) × (mn − (m − 1)n) / kn = P(B = b) / bn / ∑k ≥ m P(B = k) / kn

On cherche donc une suite (βm) telle que pour tout b ∈ N*, la variable aléatoire βM produise un estimateur sans biais de b.

Pour tout b ∈ N*, on a l’équivalence b = E(βM) ⇔ ∑m = 1b βm × (mn − (m − 1)n) = bn+1.

Donc par différences des termes successifs on obtient la relation équivalente ∀m ∈ N*, βm × (mn − (m − 1)n) = mn+1 − (m − 1)n+1.

Finalement, on obtient un estimateur sans biais du paramètre a de la loi uniforme à partir du maximum M de l’échantillon par Mn+1 − (M − 1)n+1 / Mn − (M − 1)n.

Cas continu

Soit b ∈ R∗+. On considère une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (IID) (U1, …, Un) de loi uniforme sur l’ensemble [0, b], puis on définit la variable aléatoire M = max(U1, …, Un). Pour tout m ∈ [0, b] on a P(M ≤ m) = mn/bn donc la variable M suit une loi de densité x ↦ nxn−1/bn.

Notons β une fonction de R∗+ dans lui-même et on résout par équivalences ∀b ∈ R∗+, b = ∫0b β(x) nxn−1/bndx ⇔ ∀b ∈ R∗+, bn+1 = ∫0b β(x) × nxn−1dx ⇔ ∀x ∈ R∗+, (n + 1)xn = β(x) × nxn−1

Finalement, la fonction β est définie par ∀x ∈ R∗+, β(x) = n+1/n x.

Avec deux paramètres

Cette fois, la probabilité que toutes les variables Ui, indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur l’intervalle [a, b], se trouvent entre deux valeurs l et m s’écrit P(∀i, l ≤ Ui ≤ m) = (m − l)n / (b − a)n.

Donc la fonction de densité associée au couple (L, M) = (min(U1, …, Un), max(U1, …, Un)) est définie par (x, y) ↦ −∂2 / ∂x ∂y (y − x)n / (b − a)n = n(n − 1)(y − x)n−2 / (b − a)n.

On résout donc par équivalences

∀(a, b) ∈ (R∗+)2, b = ∫∫ β(x, y) n(n − 1) (y − x)n−2 / (b − a)n dx dy ⇔ ∀(a, b) ∈ (R∗+)2, b(b − a)n = ∫∫ β(x, y) n(n − 1) (y − x)n−2 ⇔ ∀(x, y) ∈ (R∗+)2, n(y − x)n−2(ny − x) = β(x, y) n(n − 1)(y − x)n−2 ⇔ ∀(x, y) ∈ (R∗+)2, (ny − x) = β(x, y) (n − 1)

Donc l’estimateur de la borne supérieure de l’intervalle est défini par nM − L/n − 1 = M + M − L/n − 1. De même, l’estimateur de la borne inférieure s’écrira L + L − M/n − 1.