De nouveaux cryptarithmes

Dans le numéro de Pour la science de mars 2021, la chronique de Gilles Dowek « Mon alter ego sur le web » évoque les cryptarithmes comme SEND + MORE = MONEY dans lesquels chaque lettre remplace un chiffre de façon univoque. Le défi de la résolution d’une telle énigme cache un autre problème : celui d’en créer.

Analyse

Termes numéraux

Puisqu’il s’agit de représenter une opération arithmétique, il me semblait sensé de chercher à ce que les mots formés représentent aussi des nombres écrits en lettres. En français, nous avons à notre disposition les noms des entiers de 0 à 16, des dizaines jusque 60, puis les numéraux cent et mille. Je ne compte pas million et milliard qui ne s’emploient pas seuls, tout comme les fractions comme demi ou quart.

Addition simple

Dans une addition simple, zéro est inutilisable. La première addition UN + UN = DEUX est impossible car deux nombres inférieurs à 100 ne peuvent avoir une somme supérieure à 1000.

Plus généralement, si la somme a plus de chiffres que chacun des deux termes à gauche, elle ne peut en avoir qu’un de plus, et il s’agit nécessairement d’un 1. En outre, les lettres supplémentaires à gauche du plus grand des deux termes à gauche représentent alors toutes le chiffre 9.

Si la somme a une séquence de chiffres consécutifs commune avec l’un des termes à gauche, alors les chiffres correspondants dans l’autre terme sont tous simultanément égaux à 0 ou 9.

Évidemment, la somme ne peut avoir moins de chiffres que le plus long des termes à gauche, et il ne peut y avoir plus de 10 lettres différentes.

Ces contraintes réduisent l’ensemble des additions simples envisageables à :

Pour savoir si chacun de ces cryptarithmes a une (unique) solution, on peut écrire un algorithme de résolution ou utiliser un programme déjà existant comme sur le site de Nicolas Graner ou sur Dcode. Mais l’article de Wikipédia nous donne déjà la liste (censément complète) des additions avec un nombre quelconque de termes. Naoyuki Tamura semble même avoir déjà fait une recherche exhaustive sur ces sommes. Et de fait, aucune de ces additions simples n’admet une unique solution. Certaines n’en ont pas, tandis que DEUX + SIX = HUIT en a plus d’une centaine.

Autres opérations

On peut alors chercher des égalités utilisant d’autres opérations. Les nombres de lettres donnent des contraintes très fortes pour les multiplications simples. De fait, la seule qui semblait possible est CINQ × SIX = TRENTE, déjà attribuée à Éric Angelini.

Propositions

Peut-on reconstruire tous les noms de nombres à partir de un ?