Calcul direct
Si l'on connait une primitive de la fonction à intégrer, on peut éventuellement rechercher les limites de cette primitive aux bornes de son domaine.
- L'intégrale ∫0+∞
e−t dt converge
car pour tout x ∈ R+ on a
∫0x
e−t dt
= [−e−t]0x
= −e−x + 1
or on a limx→+∞
−e−x + 1 = 1.
- L'intégrale ∫1+∞
dt/t diverge
car pour tout x ∈ [1 ; +∞[ on a
∫0x
dt/t
= [ln(t)]1x
= ln(x)
or on a limx→+∞
ln(x) = +∞.
Utilisation d'un équivalent
Pour déterminer l'intégrabilité d'une fonction continue et de signe constant sur un intervalle, il suffit de trouver des équivalents en ses bornes, pour lesquels l'intégrabilité est déjà connue.
- La fonction f : x ↦ 1/√(x2 + 1)
est positive et équivalente à la fonction inverse en +∞ qui n'est pas intégrable en +∞ donc la fonction f non plus.
- La fonction g : x ↦ ln(1 − e−x) est négative et équivalente à la fonction x ↦ − e−x en +∞ qui est intégrable en +∞ donc la fonction g aussi.
Attention, ce procédé n'aboutit pas pour des fonctions de signe variable :
si la fonction f est définie pour tout x ∈ R∗+ par
f(x)
= sin(x)/√x
et si on pose g = f2
alors on trouve que g est négligeable par rapport à f en +∞ mais f est intégrable sans que g le soit. Par conséquent, la fonction f+g est équivalente à f en +∞ mais n'est pas intégrable.