Exercices de dérivabilité

Dérivabilité
  1. Soit p ∈ ]0 ; 1[. Calculer l’image de la fonction g : x ↦ px / px + (1 − p)(1 − x) sur [0 ; 1].

Problèmes

On considère la fonction définie sur l'intervalle ]−1/2 ; +∞[ par f(0) = 1 et pour tout x ≠ 0, f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1.
  1. Montrer que limX→0ln(1 + X)/X = 1 et en déduire que la fonction f est continue en 0.
  2. Déterminer une fonction h définie sur ]−1/2 ; +∞[ telle que pour tout réel x non nul sur cet intervalle, f′(x) = h(x)/x2.
  3. Étudier les variations de h puis en déduire celles de f.
  4. Montrer que la fonction f s'annule en un unique réel α. (On admettra α ≈1,26.)
  5. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
On pose ensuite g : x ↦ ln(1 + 2x). Soit (un) une suite vérifiant u0 > 0 et pour tout n ∈ N, (un+1 = g(un).
  1. Vérifier que la suite est strictement positive.
  2. Si la suite converge, quelle est la seule valeur possible pour sa limite ? On notera ℓ cette valeur.
  3. Supposons u0 ≤ α.
    1. Montrer que pour tout n ∈ N on a un ≤ α.
    2. Montrer alors que la suite est monotone et convergente.
    3. Montrer que le résultat précédent est encore valable si u0 > α.
  4. Supposons u0 = 1.
    1. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout n ∈ N on a |un+1 − α| ≤ 2/3 |un − α|.
    2. En déduire que pour tout n ∈ N on a |un − α| ≤ (2/3)n.
    3. À partir de quel rang peut-on être sûr que un représente une valeur approchée de α à 10−4 près ?
Ecricome 2012 problème 2.1
On considère la fonction f : x ↦ x4 − (x − 1)4/x3 − (x − 1)3, permettant de définir un estimateur sans biais de la valeur maximale d'une loi uniforme discrète à partir du maximum d'un échantillon.
  1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
  2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x4 − 24x3 + 18x2 − 6x + 1.
  3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2.
On considère la fonction f : x ↦ x2 + 1 / 2x − 1 définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ et on introduit la suite (bn) définie par b0 = 2 et pour tout n ∈ N, bn+1 = f(bn).
  1. Étudier les variations de la fonction f et montrer qu'elle admet un minimum en un réel φ.
  2. Montrer que la suite (bn) est décroissante et minorée. Montrer qu'elle converge et préciser sa limite.
  3. Prouver que pour tout n ∈ N, bn+1 − φ ≤ 1/2 (bn − φ)2.
    En déduire que pour tout n ∈ N, 0 ≤ bn − φ ≤ (1/2)∑k=0n 2k.
  4. Vérifier que b3 est une valeur approchée de φ à 10−4 près. Calculer cette valeur approchée sous la forme d'une fraction irréductible.
Ecricome 2006 problème 2 question 3

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