Christophe Boilley, lycée Châtelet de Douai
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Il s'agit essentiellement de la résolution d'une équation ou d'un système d'équations, mais la détermination d'un vecteur propre rentre aussi dans ce cadre.
L'analyse est très présente dans le domaine des mathématiques qui porte le même nom et qui traite essentiellement des suites et fonctions. Rentrent dans ce cadre la recherche du domaine de définition, du signe, de la parité ou la périodicité et des variations d'une fonction, la convergence d'une suite, mais aussi l'injectivité et la surjectivité d'une application, l'inversibilité d'une matrice. On peut aussi considérer que la lecture graphique relève de l'analyse.
On va trouver essentiellement des égalités et des inégalités numériques, des égalités d'ensembles, des équivalences. Les méthodes les plus courantes sont la disjonction de cas, la récurrence, le raisonnement par l'absurde, la double inclusion, la double implication.
Il n'y a là pas vraiment de méthode générale, sinon que pour formuler une propriété universelle, il est prudent de la vérifier sur des exemples. En particulier, une propriété sur les termes d'une suite sera énoncée après calcul des premiers termes.
Il est nécessaire de bien connaitre les objets mathématiques courants pour pouvoir reconnaitre dans un phénomène réel des propriétés similaires.
Le travail mathématique se présente sous plusieurs formes : l'analyse, la modélisation, la démonstration, la conjecture.
Une entreprise projette de commercialiser un produit de coût de production unitaire de 50 €, avec un prix de vente unitaire de 100 €. Mais les pièces produites ne seront pas toutes vendues. L'entreprise estime d'une part que pour une faible production, 10 % des pièces en vente ne seront pas achetées, d'autre part qu'il a un marché potentiel de 100 000 pièces au plus.
On modélise le nombre de pièces vendues en fonction du nombre de pièces en vente par la formule V(x) = 105 (1 − a e−kx), les réels positif a et k devant être choisis pour satisfaire les équations V(0) = 0 et V′(0) = 0,9 traduisant l'estimation des ventes en cas de faible production.
On calcule V(0) = 105 (1 − a).
On résout par équivalences V(0) = 0 ⟺ 105 (1 − a) = 0 ⟺ a = 1.
On calcule la dérivée de la fonction V définie et dérivable sur R+ comme combinaison de fonctions dérivables : pour tout x ≥ 0, V′(x) = 105 k e−kx donc V′(0) = 105 k.
On résout par équivalences V′(0) = 0,9 ⟺ 105 k = 0,9 ⟺ k = 9 × 10−6.
On assimile alors le total de recettes au produit 100V(x) et le total de dépenses au produit 50x, pour obtenir un solde sous la forme S(x) = 100V(x) − 50x.
On étudie la fonction S définie et dérivable sur R+ comme combinaison de fonctions dérivables.
Pour tout x ≥ 0, S′(x) = 100V′(x) − 50 = 90 e−kx − 50.
On résout par équivalences
S′(x) ≥ 0
⟺ 90 e−kx ≥ 50
⟺ −kx ≥ ln(59)
⟺ x ≤ 1069 ln(95).
On pose alors x0 = 1069 ln(95) et on obtient le tableau de variation suivant.
| x | 0 | x0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| S′(x) | + | 0 | − | ||
| S(x) | ↗ | ↘ |
Il existe de nombreuses méthodes de calcul adaptées aux divers objets mathématiques : développement, factorisation, conjugué, module, inverse et racine d'un nombre complexe, limite, dérivée, intégrale, développement limité, produit matriciel, inverse d'une matrice, noyau, image et rang d'une application linéaire…
Il s'agit essentiellement de la résolution d'une équation ou d'un système d'équations, mais la détermination d'un vecteur propre rentre aussi dans ce cadre.
L'analyse est très présente dans le domaine des mathématiques qui porte le même nom et qui traite essentiellement des suites et fonctions. Rentrent dans ce cadre la recherche du domaine de définition, du signe, de la parité ou la périodicité et des variations d'une fonction, la convergence d'une suite, mais aussi l'injectivité et la surjectivité d'une application, l'inversibilité d'une matrice. On peut aussi considérer que la lecture graphique relève de l'analyse.
On va trouver essentiellement des égalités et des inégalités numériques, des égalités d'ensembles, des équivalences. Les méthodes les plus courantes sont la disjonction de cas, la récurrence, le raisonnement par l'absurde, la double inclusion, la double implication.
Il n'y a là pas vraiment de méthode générale, sinon que pour formuler une propriété universelle, il est prudent de la vérifier sur des exemples. En particulier, une propriété sur les termes d'une suite sera énoncée après calcul des premiers termes.
Il est nécessaire de bien connaitre les objets mathématiques courants pour pouvoir reconnaitre dans un phénomène réel des propriétés similaires.
Christophe Boilley, lycée Châtelet de Douai
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