Devoir surveillé n^o 3

Épreuve de 4 h sans calculatrice ni document autorisé.

Étude de fonction

Un estimateur sans biais de la valeur maximale pour une variable aléatoire discrète à valeurs équiprobables dans [[0 ; m]] peut se calculer à partir du maximum sur un échantillon de trois valeurs grâce à la fonction f : x ↦ x⁴ − (x − 1)⁴/x³ − (x − 1)³.

1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R, puis simplifier son expression en développant numérateur et dénominateur.
2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x⁴ − 24x³ + 18x² − 6x + 1.
3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2. On pourra pour cela calculer la dérivée secondeg″.
4. En déduire le signe de la fonction g puis les variations de f.
5. Montrer que la fonction f ne s'annule qu'en 1/2.
6. Déterminer les limites de f à l'infini, puis montrer que le quotient f(x)/x) admet une limite finie a lorsque x tend vers l’infini.
7. Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet une même droite asymptote d’équation y = 4x − 2/3) en +∞ et en −∞
8. Déterminer le signe de la différence f(x) − 4x − 2/3) pour tout x ∈ R et en déduire la position relative de la courbe de f et de son asymptote.
9. Représenter graphiquement l'asymptote et la courbe de f.

Vecteurs

1. On considère la famille [[1 ;]][1 ;]][1 ;]] [[2 ;]][3 ;]][−1 ;]] [[4 ;]][9 ;]][1 ;]] dans R³.
   1. Montrer qu’elle est libre et génératrice dans cet espace.
   2. Décomposer le vecteur [[1 ;]][2 ;]][3 ;]] sur cette famille.
2. On s’intéresse plus généralement à une famille de vecteurs de la forme u = [[1 ;]][1 ;]][1 ;]], v = [[p ;]][q ;]][r ;]], w = [[p² ;]][q² ;]][r² ;]]
   où p, q et r sont trois réels quelconques.
   1. La famille peut-elle être libre si p = q ?
   2. Soit (a, b, c) ∈ R³ tel que au + bv + cw = 0. Montrer que la fonction x ↦ cx² + bx + a s’annule en p, q et r.
   3. En déduire que la famille est libre si les réels p, q et r sont tous différents deux à deux.

Approximation de pi

1. Rappeler la définition de la fonction tangente et ses valeurs en 0, π/6, π/4 et π/3.
2. Redémontrer que pour tout x ∈ R on a Arctan′(x) = 1/(1 + x²).
3. En déduire que pour tout x ∈ R⁺ on a x − x³/3 ≤ Arctan(x) ≤ x.
4. Utiliser les inégalités précédentes pour démontrer l'encadrement 2/3 ≤ π/4 ≤ 1 et en déduire un encadrement de π.
5. Donner de même un encadrement de π/6 et en déduire un nouvel encadrement de π.
   Ce nouvel encadrement permet-il de montrer l'inégalité π ≤ 3,2 ?

Série harmonique

1. Montrer que pour tout x ∈ ]−1 ; +∞[ on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ 1/k ≥ ∑_k=1ⁿ ln(1 + 1/k).
3. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ ln(1 + 1/k) = ln(n + 1).
4. Rappeler la limite de la fonction ln en +∞ et conclure.

Interpolation

On cherche un polynôme du second degré P : x ↦ ax² + bx + c qui interpole les premières puissances de 2.

1. Calculer P(1), P(2) et P(3).
2. Déterminer a, b et c pour obtenir simultanément P(1) = 1, P(2) = 2 et P(3) = 4.
3. Déterminer les racines réelles ou complexes de P.

Fonctions hyperboliques

On définit les fonctions ch et sh pour tout x ∈ R par ch(x) = e^x + e^−x/2) et sh(x) = e^x − e^−x/2).

1. Justifier que ces deux fonctions sont dérivables et que pour tout x ∈ R :
   • exp(x) = ch(x) + sh(x)
   • ch²(x) − sh²(x) = 1
   • ch′(x) = sh(x)
   • sh′(x) = ch(x).
2. Représenter les courbes de ces deux fonctions sur un même graphique.

Trigonométrie encore

1. Montrer que pour tout θ ∈ R on a cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1.
2. Rappeler la valeur de cos(π/4) et en déduire la valeur de cos(π/8) puis calculer sin(π/8).