Devoir surveillé n^o 2

Épreuve de 2 h sans calculatrice ni document autorisé.

Systèmes d’équations linéaires

1. Représenter les droites d’équations respectives 5x − 3y = 7 et 3x − y = 3 et déterminer les coordonnées du point d’intersection par la résolution d’un système.
2. Résoudre le système suivant de paramètre t ∈ R et d’inconnues réelles x et y : {(t + 4)x − 3y = 5 + 2t ;3x + (2t − 3)y = 5 − 2t. ;

Fonctions

1. Étudier le domaine des fonctions f : t ↦ 2t/t + 3) et g : t ↦ −t − 5/t + 3) d’une variable t réelle.
2. Montrer que la fonction f est injective puis déterminer son image et une expression de sa réciproque f⁻¹.
3. Calculer une expression de la composée g ∘ f⁻¹.
4. Résoudre pour tout t ∈ R ∖ {−3} l’inéquation f(t) ≤ g(t).
   En déduire la position relative des courbes de f et de g.
5. Étudier les variations des fonctions f et g et calculer leurs éventuels points fixes.

Symbole somme

Montrer que pour tout entier n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ k/2^k) = 2 − n+2/2ⁿ).

Coefficients binomiaux

1. Calculer (37 parmi 41).
2. Calculer (1 + √(2))⁷.

Inéquation

Résoudre l’inéquation √(1 − x²) < 3 − 2x d’inconnue réelle x en précisant le domaine d’étude au préalable.