Devoir non surveillé no 4

Puissances de matrice

On pose A = 111111111 et B = 311131113.

  1. Résoudre l’équation AX = 0 avec X ∈ ℳ3,1(R).
  2. La matrice A est-elle inversible ? Si oui, préciser son inverse.
  3. Calculer A2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a An = 3n−1.A.
  4. Exprimer la matrice B comme une combinaison linéaire de A et la matrice identité I3.
    En déduire une expression de B2 comme une combinaison linéaire de B et I3.
  5. Justifier que la matrice B est inversible et calculer les coefficients de son inverse.
  6. Donner une expression de Bn comme combinaison linéaire de B et I3 pour tout n ∈ N∗.

Sommes de Riemann

On pose pour tout n ∈ N∗, un = ∑k=1n 1/n + k et vn = ∑k=0n−1 1/n + k

  1. Calculer u1, u2 et u3.
  2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a un+1 − un = 1/2n + 1 + 1/2n + 2 − 1/n + 1 .
  3. En déduire que la suite u est croissante.
  4. Déterminer de même les variations de la suite v.
  5. Justifier que les suites u et v sont adjacentes.
  6. Soit n ∈ N∗. Montrer que pour tout k ∈ ⟦0 ; n − 1⟧ on a 1/n + k + 1 ≤ ∫k/n(k+1)/n dt/1 + t ≤ 1/n + k
    et en déduire la double inégalité un ≤ ∫01 dt/1 + t ≤ vn.
  7. Calculer la limite des suites u et v.

Intégrale d’une fraction rationnelle

  1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x ∈ R+ on ait a/2x + 1 + b/x + 3 = 1/(2x + 1)(x + 3).
  2. Calculer la valeur de l’intégrale ∫02 dx/(2x + 1)(x + 3).

Intégrale d’une fonction trigonométrique

  1. Calculer ∫0π/2 sin2(t) dt. On pourra au choix procéder par linéarisation ou par intégration par parties.
  2. En déduire la valeur de l’intégrale ∫01 √1 − x2 dx à l’aide du changement de variable x = sin(t).
  3. Calculer de même la valeur de l’intégrale ∫01 x2 √1 − x2 dx.

Zéro de fonction

Représentation graphique de fonction

  1. Déterminer les variations de la fonction x ↦ x3 − x − 1 définie sur R.
  2. Calculer les valeurs des extrema locaux de f et préciser leur signe.
  3. Déterminer les limites de la fonction f à l'infini et en déduire que la fonction s'annule une seule fois.
    On notera α l'unique antécédent de 0, que l'on ne cherchera pas à calculer.
  4. Montrer que le réel α appartient à l'intervalle ]1 ; 2[.
  5. Exprimer l'équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 1.
    Tracer cette tangente et calculer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
  6. Démontrer que pour tout x ∈ R on a x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2).
    En déduire la position relative de la courbe de f et de la tangente T.
  7. Représenter graphiquement l'allure de la courbe représentative de f sur une page à part.
    On pourra prendre 2 cm ou 2 grands carreaux par unité.
  8. Soit a ∈ R. À quelle condition la tangente à la courbe de f au point d'abcsisse a coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
    Calculer les coordonnées du point d'intersection le cas échéant.

Fonction de récurrence pour la méthode de Newton

Pour tout x ∈ R, on pose g(x) = 2x3 + 1/3x2 − 1.

  1. Montrer que la fonction g est bien définie sur l'intervalle [1 ; 2].
    Justifier que α est son seul point fixe.
  2. Justifier que la fonction g est dérivable et montrer que sa dérivée est du signe de f.
  3. En déduire les variations de g puis montrer que l'intervalle [1 ; 2] est stable par g.
  4. Démontrer que pour tout x ∈ [α ; 2] on a g(x) ≤ x.

Suite d'approximation

On définit alors une suite par u0 = 1 et pour tout n ∈ N, un+1 = g(un).

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Justifier que la suite u est bornée et décroissante à partir du rang 1.
    En déduire qu'elle converge vers α.

Vitesse de convergence

  1. Justifier que la dérivée de g est croissante.
  2. En déduire que pour tout x ∈ [α, 2] on a 0 ≤ g′(x) ≤ 1/2.
  3. En appliquant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout x ∈ [α, 2] on a 0 ≤ g(x) − α ≤ 1/2(x − α).
  4. En déduire que pour tout n ∈ N∗ on a un − α ≤ 1/2n.