Devoir non surveillé n^o 3

Étude de fonction

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction d’une variable réelle définie par f : x ↦ √(x² − x − 2) + 3x + 4/x + 2).
2. Calculer le taux d’accroissement de f au voisinage de −1 et de 2.
3. Justifier que f est dérivable sur son domaine de définition sauf en deux points à préciser.
4. Calculer la dérivée de f.
5. Montrer que la dérivée est du même signe que la fonction g : x ↦ 4√(x² − x − 2) + 5x + 2.
6. Déterminer le signe de la fonction g et ses limites aux bornes du domaine de définition de f.
7. En déduire les variations de f.
8. Calculer les limites de la fonction f au bornes de son domaine de définition.
9. Préciser les éventuelles asymptotes à la courbe.
10. Représenter graphiquement la courbe de f.