Concours blanc n^o 2

Épreuve de 4 h sans calculatrice ni document autorisé.

Décomposition de Dunford

On pose M = [[1 ;2 ;−2 ;]][1 ;5 ;−4 ;]][1 ;2 ;−1 ;]].

1. La matrice M est-elle inversible ? On ne demande pas de calculer son éventuelle inverse.
2. Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout x ∈ R ∖ {1 ; 3} on ait 1/(x − 1)² (x − 3)) = ax + b/(x − 1)²) + c/x − 3).
3. On pose A = (aM + bI)(M − 3I) et B = c(M − I)² ainsi que leurs carrés. Montrer qu’on trouve A = −1/4) [[−4 ;4 ;−4 ;]][0 ;6 ;−10 ;]][0 ;6 ;−10 ;]] et B = 1/4) [[0 ;4 ;−4 ;]][0 ;10 ;−10 ;]][0 ;6 ;−6 ;]] puis calculer les carrés de ces deux matrices.
4. Calculer D = A + 3B et N = M − D.
5. Calculer N² ainsi que les produits DN et ND. Les matrices D et N commutent-elles ?
6. Montrer que pour tout entier k ∈ N on a M^k = D^k + kN et D^k = A + 3^k B.

Carré magique

On s’intéresse aux carrés magiques, qui sont des tableaux d’entiers dans lesquels la somme des nombres est la même sur chaque colonne, sur chaque ligne et sur chaque diagonale, et est appelée constante magique du carré.

1. Vérifier que les matrices C = [[2 ;7 ;6 ;]][9 ;5 ;1 ;]][4 ;3 ;8 ;]] et U = [[1 ;1 ;1 ;]][1 ;1 ;1 ;]][1 ;1 ;1 ;]] sont des carrés magiques et préciser leur constante.
2. Déterminer un réel λ tel que C − λU soit un carré magique de constante nulle.
3. Justifier que la transposée d’un carré magique est aussi un carré magique.
4. En déduire que tout carré magique se décompose en un multiple de U, un carré magique symétrique de constante nulle et un carré magique antisymétrique de constante nulle.
5. Justifier qu’une matrice antisymétrique de taille 3 s’écrit A = [[0 ;a ;b ;]][−c ;0 ;c ;]][−b ;−a ;0 ;]]. À quelles conditions sur a, b, c la matrice décrit-elle un carré magique de constante nulle ?
6. Déterminer de même les carrés magiques de constante nulle s’écrivant avec une matrice symétrique.
7. Décomposer la matrice C comme dans la question 4.

Astrologie chinoise

Le cycle sexagésimal de l’astrologie chinoise associe à chaque année à la fois une créature animale (rat, bœuf, tigre, lapin, dragon, serpent, cheval, chèvre, singe, coq, chien ou cochon) et un élément (métal, bois, eau, feu ou terre).

1. Combien d’années peuvent être ainsi décrites de façon différente par l’un des douze animaux et l’un des cinq éléments ?
2. En admettant que toutes les années d’un cycle sont équiprobables et indépendantes d’une personne à l’autre, quelle est la probabilité que deux personnes aient un élément ou un animal en commun dans leur signe ?
3. Sachant que la condition de la question précédente est réalisée, quelle est la probabilité que ces deux personnes aient le même animal ?

Étude d’une fonction définie par une intégrale

1. Montrer que pour tout t ∈ R^+∗, on a t > ln(t).
2. En déduire que la fonction f : x ↦ ∫_x^2x dt/t − ln(t)) est bien définie sur R^+∗.
3. Justifier que la fonction f est dérivable et que pour tout x ∈ R^+∗, f′(x) = 2/2x − ln(2x)) − 1/x − ln(x)).
4. En déduire les variations de la fonction f.
5. Calculer, pour tout réel x > 0, l’intégrale ∫_x^2x dt/t).
6. Montrer que la fonction t ↦ 1/t − ln(t) − 1/t est décroissante à partir d’un certain réel.
7. En déduire que lim_t→+∞ ∫_x^2x (1/t − ln(t) − 1/t) dt = 0.
8. Montrer que la fonction f tend vers ln(2) en +∞.
9. Montrer que la fonction f est prolongeable en une fonction continue sur R⁺. Ce prolongement est-il dérivable à droite en 0 ?
10. Donner l’allure de la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

Un jeu de pile ou face biaisé

On considère deux pièces indiscernables, l’une équilibrée, l’autre ayant une probabilité p de tomber du côté pile. On lance l’une de ces deux pièces (choisie aléatoirement de façon équiprobable) et on la relance tant qu’on obtient pile, et on change de pièce à chaque fois qu’on obtient face. Pour tout entier k ≥ 1, on note A_k le fait de lancer la pièce équilibrée au k-ième lancer.

1. Exprimer la probabilité P(A₁) puis calculer P(A₂) en fonction de p. On pourra représenter un arbre de probabilité en justifiant les calculs par les formules appropriées.
2. Justifier que pour tout k ≥ 1 on a P(A_k+1) = (p − 1/2) × P(A_k) + 1 − p.
3. Déterminer un réel a tel que la suite (P(A_k) − a)_k∈N^∗ soit géométrique et préciser alors sa raison et son premier terme.
4. En déduire une expression de P(A_k) et calculer sa limite lorsque k tend vers +∞.

Intégrales de Wallis

On définit pour tout n ∈ N, w_n = ∫₀^π/2 (sin(x))ⁿ dx.

1. Calculer w₀ et w₁.
2. Montrer que la suite (w_n) est décroissante.
3. Montrer que pour tout entier n on a w_n > 0.
4. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout entier n on a (n + 2) w_n+2 = (n + 1) w_n.
5. En déduire que pour tout entier n on a (n + 1)w_n+1 w_n = w₀ w₁.
6. Montrer que pour tout entier n on a 1 ≥ w_n+1/w_n ≥ (n + 1)/(n + 2).
7. En déduire que le quotient w_n+1/w_n converge lorsque n tend vers +∞.
8. En déduire que la suite (n w_n²) converge vers π/2.
9. Montrer que pour tout entier n on a w_2n = ((2n)! π)/(2²ⁿ⁺¹(n!)²).