Épreuve de mathématiques

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Encadrement de e

  1. Montrer que pour tout xR on a exx + 1 et que pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ on a ex1/1 − x.
  2. Exprimer un encadrement de e1/3 puis justifier 64/27 ≤ e ≤ 27/8.
  3. Préciser la largeur de l’intervalle [64/27 ; 27/8] à 0,1 près.

Étude de fonction

On pose f(x) = x/ex − 1 pour tout xR.

  1. En reconnaissant 1/f(x) comme un taux d'accroissement, démontrer que la fonction f admet une limite finie en 0 et préciser sa valeur.
  2. Démontrer que les variations de la fonction f sont déterminées par le signe de la fonction g : x ↦ (1 − x) ex − 1.
  3. Déterminer les variations de g sur R en précisant sa valeur en 0.
  4. Dresser le tableau de variations de f en précisant ses limites.
  5. Montrer que f(x) + x admet une limite finie lorsque x tend vers −∞ et en déduire que la courbe de f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation.
  6. Tracer la courbe représentative de f ainsi que ses diverses asymptotes.

Équation diophantienne

On remarque que 24 = 42 et on se demande s’il existe d’autres couples d’entiers (a, b) tels que ab = ba avec a < b.

  1. Montrer que l’équation précédente se ramène à l’équation ln(a)/a = ln(b)/b.
  2. Étudier la fonction h : xln(x)/x et tracer sa courbe représentative avec ses éventuelles asymptotes.
  3. La fonction h est-elle injective ?
  4. Justifier que si (a, b) est un couple d’entiers tels que ab = ba avec a < b, alors a < e < b.
  5. Quels sont les entiers a positifs mais strictement inférieurs à e ?
    Déterminer pour chacun d’eux les solutions à l’équation ln(a)/a = ln(b)/b avec b > e.
  6. En déduire la liste de toutes les solutions de l’équation initiale.

Symboles sommes

  1. Démontrer que pour tout nN on a k=0n k2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.
  2. En déduire le calcul pour tout nN de k=0n k × (nk).

Système

Résoudre le système suivant d’inconnues x, y, z réelles.

{x + 3y + 2z = 74xy + 3z = 0−2x + 5yz = 6