Épreuve de mathématiques

Encadrement de e

1. Montrer que pour tout x ∈ R on a e^x ≥ x + 1 et que pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ on a e^x ≤ 1/1 − x).
2. Exprimer un encadrement de e^1/3 puis justifier 64/27 ≤ e ≤ 27/8.
3. Préciser la largeur de l’intervalle [64/27 ; 27/8] à 0,1 près.

Étude de fonction

On pose f(x) = x/(e^x − 1) pour tout x ∈ R^∗.

1. En reconnaissant 1/f(x)) comme un taux d'accroissement, démontrer que la fonction f admet une limite finie en 0 et préciser sa valeur.
2. Démontrer que les variations de la fonction f sont déterminées par le signe de la fonction g : x ↦ (1 − x) e^x − 1.
3. Déterminer les variations de g sur R en précisant sa valeur en 0.
4. Dresser le tableau de variations de f en précisant ses limites.
5. Montrer que f(x) + x admet une limite finie lorsque x tend vers −∞ et en déduire que la courbe de f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation.
6. Tracer la courbe représentative de f ainsi que ses diverses asymptotes.

Équation diophantienne

On remarque que 2⁴ = 4² et on se demande s’il existe d’autres couples d’entiers (a, b) tels que a^b = b^a avec a < b.

1. Montrer que l’équation précédente se ramène à l’équation ln(a)/a) = ln(b)/b).
2. Étudier la fonction h : x ↦ ln(x)/x) et tracer sa courbe représentative avec ses éventuelles asymptotes.
3. La fonction h est-elle injective ?
4. Justifier que si (a, b) est un couple d’entiers tels que a^b = b^a avec a < b, alors a < e < b.
5. Quels sont les entiers a positifs mais strictement inférieurs à e ?
   Déterminer pour chacun d’eux les solutions à l’équation ln(a)/a) = ln(b)/b) avec b > e.
6. En déduire la liste de toutes les solutions de l’équation initiale.

Symboles sommes

1. Démontrer que pour tout n ∈ N on a ∑_k=0ⁿ k² = n (n + 1)(2n + 1)/6).
2. En déduire le calcul pour tout n ∈ N de ∑_k=0ⁿ k × (n − k).

Système

Résoudre le système suivant d’inconnues x, y, z réelles.