Devoir surveillé n^o 2

Devoir à faire en 2 h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Équation avec radical

Résoudre l'équation suivante en précisant au préalable le domaine d'étude : √5x − 4 − √1 + 2x = 1.

Symbole somme

Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a ∑_k=1ⁿ 1/√k + √k + 1) = √n + 1 − 1.

Fonction réciproque

1. Étudier les variations de la fonction q : x ↦ x − 1/x) définie sur R^+∗
2. Montrer que pour tout y ∈ R il existe une unique solution strictement positive à l’équation x − 1/x) = y et donner son expression en fonction de y.
3. En déduire l’image de la fonction q. Est-elle injective ?

Étude de fonction

On considère la fonction f : x ↦ x⁴ − (x − 1)⁴/x³ − (x − 1)³, permettant de définir un estimateur sans biais de la valeur maximale d'une loi uniforme discrète à partir du maximum d'un échantillon.

1. Simplifier l’expression du numérateur et du dénominateur.
2. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
3. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x⁴ − 24x³ + 18x² − 6x + 1.
   Détailler proprement le raisonnement quitte à traiter séparément certains calculs.
4. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2.
5. En déduire le signe de la fonction g puis les variations de f.
6. Montrer que la fonction f ne s’annule qu’en 1/2.
7. Déterminer les limites de f à l’infini.
8. Bonus : Montrer que la courbe est asymptote à la droite d’équation y = 4/3x − 2/3.
9. Représenter graphiquement la courbe de f avec l’asymptote.