Devoir surveillé n^o 1

Devoir à faire en 2 h sans sortie anticipée. Les calculatrices sont interdites.

Les élèves veilleront à numéroter toutes les copies et y inscrire leur nom.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés.

Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron donne ces premières approximations de √2 :

• x₁ = 1
• x₂ = (1 + 2)/2
• x₃ = (3/2 + 2/(3/2))/2

1. Réduire les expressions de ces trois valeurs et les placer sur un axe orienté en justifiant l'ordre annoncé.
   Montrer aussi que √2 est strictement compris entre x₁ et x₃.
2. Montrer que la première approximation est la partie entière de √2.
3. Montrer que pour la dernière approximation, l'erreur absolue est inférieure à 0,1.

Équation avec radical

Résoudre l'équation suivante en précisant au préalable le domaine d'étude : √(4 − 3x) = 5x − 2.

Inéquations

Déterminer l'ensemble des solutions des inéquations suivantes.

• 2/2 − x) + 1/x) ≤ 3
• 1/√x + 1 − 1) ≤ 2

Majoration et minoration

1. Justifier que l’ensemble A = {2n − 5/8n + 3, n ∈ N} est bien défini.
2. L’ensemble A est-il minoré par 0 ?
3. Montrer que A admet un minimum en précisant sa valeur.
4. Montrer que A est majoré par 1/4. Est-ce le maximum de A ?

Symbole somme et récurrence (bonus)

Démontrer pour tout n ∈ N* la formule ∑_k=1ⁿ (k × 2^k−1) = 1 + 2ⁿ(n − 1).