Devoir non surveillé no 2

Dénombrement

On choisit aléatoirement quatre élèves distincts d'une classe de 46, de façon équiprobable.

  1. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? Si vous êtes élève de cette classe, combien y a-t-il de combinaisons qui vous contiennent ?
  2. Le lendemain, on choisit à nouveau quatre élèves distincts en suivant le même procédé, donc en gardant la possibilité qu'un élève choisi la veille soit choisi à nouveau. Calculer le nombre de tirages possibles sur les deux jours ainsi que le nombre de tirages sans répétition.
  3. Reprendre les questions précédentes en supposant cette fois qu'on note l'ordre dans lequel les élèves sont choisis chaque jour.

Polynôme

Soit (a, b, c) ∈ R3. On pose Q = aX2 + bX + c.

  1. Pour tout x ∈ R∗, calculer P(x) = x2 × Q(x + 1/x).
  2. À l’aide d’un système d’équations linéaires, déterminer (a, b, c) ∈ R3 pour obtenir l’égalité P = 2X4 − X3 − 11X2 − X + 2.
  3. Déterminer les racines de Q.
  4. Montrer que pour tout x ∈ R∗, le nombre x est racine de P si et seulement x + 1/x est racine de Q.
    En déduire les racines de P.

Pentagone

  1. Rappeler combien vaut la somme des racines cinquièmes de l'unité dans C.
  2. En déduire la relation 2 cos(4π/5) + 2 cos(2π/5) + 1 = 0.
  3. Montrer que pour tout θ ∈ R on a cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
  4. En déduire que cos(2π/5) est solution de l’équation 4x2 + 2x − 1 = 0.
  5. Calculer toutes les solutions de l’équation ci-dessus et en déduire la valeur de cos(2π/5) et de sin(2π/5).

Approximation de pi

  1. Rappeler la définition de la fonction tangente et ses valeurs en 0, π/6, π/4 et π/3.
  2. Redémontrer que pour tout x ∈ R on a Arctan′(x) = 1/1 + x2.
  3. En déduire que pour tout x ∈ R+ on a x − x3/3 ≤ Arctan(x) ≤ x.
  4. Utiliser les inégalités précédentes pour démontrer l'encadrement 2/3 ≤ π/4 ≤ 1 et en déduire un encadrement de π.
  5. Donner de même un encadrement de π/6 et en déduire un nouvel encadrement de π.
    Ce nouvel encadrement permet-il de montrer l'inégalité π ≤ 3,2 ?