Épreuve de mathématiques du concours blanc no 2 en hypokhâgne B/L

Vendredi 25 mars 2016  —  Devoir en quatre heures sans calculatrice ni document.

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l'élève. Les résultats doivent être encadrés.

Suite convergente vers un point fixe

On rappelle les valeurs approchées suivantes à 10−1 près : ln(2) ≈ 0,7, ln(3) ≈ 1,1, ln(7) ≈ 1,9.

Pour tout réel x > −1 on pose f(x) = x2 − 4 ln(1 + x).

  1. Étudier les variations de la fonction f et montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique racine dans l'intervalle [2 ; 5/2]. On notera α cette racine.
  2. On considère la fonction g définie pour tout x > −1 par g(x) = x − f(x)/4.
    Étudier les variations de la fonction g et en déduire que l'intervalle [2 ; α] est stable par g.
  3. En déduire que l'on peut définir une suite u par u0 = 2 et pour tout entier n ≥ 0, un+1 = g(un) et que cette suite est à valeurs dans [2 ; α].
  4. Montrer que la suite u converge et préciser sa limite.
  5. Montrer que pour tout x ∈ [2 ; α] on a |g′(x)| ≤ 1/3.
  6. En déduire que pour tout entier n on a |un − α| ≤ 1/2 × 3n

Pentagone

  1. Rappeler combien vaut la somme des racines cinquièmes de l'unité dans C.
  2. En déduire la relation 2 cos(4π/5) + 2 cos(2π/5) + 1 = 0.
  3. Montrer que pour tout θ ∈ R on a cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
  4. En déduire que cos(2π/5) est racine du polynôme P = 4X2 + 2X − 1.
  5. Déterminer les racines de P et en déduire la valeur de cos(2π/5) et de sin(2π/5).

Tirage avec remise conditionnelle

On dispose d'une urne contenant 10 boules indiscernables au toucher mais numérotées avec les chiffres de 0 à 9.

  1. On tire successivement 6 boules de l'urne en notant à chaque fois le numéro obtenu et en remettant chaque boule dans l'urne avant de tirer la suivante. Combien peut-on obtenir de séries de valeurs différentes ?
  2. On recommence l'expérience mais cette fois on ne remet pas les boules tirées dans l'urne. Combien peut-on obtenir de séries de valeurs différentes ?
  3. On recommence encore avec l'urne pleine mais cette fois on ne remet une boule dans l'urne que si elle porte le numéro 0. Combien peut-on obtenir de séries sans jamais tirer 0 ? et en ne le tirant qu'une fois ? deux fois ? trois fois ?

Intégrales de Wallis

On définit pour tout n ∈ N, wn = ∫0π/2 (sin(x))n dx.

  1. Calculer w0 et w1.
  2. Montrer que la suite (wn) est décroissante.
  3. Montrer que pour tout entier n on a wn > 0.
  4. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout entier n on a (n + 2) wn+2 = (n + 1) wn.
  5. En déduire que pour tout entier n on a (n + 1)wn+1 wn = w0 w1.
  6. Montrer que pour tout entier n on a 1 ≥ wn+1/wn ≥ n + 1/n + 2.
  7. En déduire que le quotient wn+1/wn converge lorsque n tend vers +∞.
  8. En déduire que la suite (n wn2) converge vers π/2.
  9. Montrer que pour tout entier n on a wn = (2n)! π/22n+1(n!)2.

Méthodes d'intégration

  1. Calculer les intégrales suivantes.
  2. Déterminer les variations de la fonction définie pour tout x ∈ R+ par f(x) = ∫x2x exp(−u2) du
  3. Calculer la limite de la suite définie pour tout n ∈ N∗ par Sn = ln(n) − ∑k=1n ln(k)/n