Épreuve de mathématiques du concours blanc n^o 1 en hypokhâgne B/L

Zéro de fonction

Représentation graphique de fonction

1. Déterminer les variations de la fonction x ↦ x³ − x − 1 définie sur R.
2. Calculer les valeurs des extrema locaux de f et préciser leur signe.
3. Déterminer les limites de la fonction f à l'infini et en déduire que la fonction s'annule une seule fois.
   On notera α l'unique antécédent de 0, que l'on ne cherchera pas à calculer.
4. Montrer que le réel α appartient à l'intervalle ]1 ; 2[.
5. Exprimer l'équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 1.
   Tracer cette tangente et calculer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
6. Démontrer que pour tout x ∈ R on a x³ − 3x + 2 = (x − 1)² (x + 2).
   En déduire la position relative de la courbe de f et de la tangente T.
7. Représenter graphiquement l'allure de la courbe représentative de f sur une page à part.
   On pourra prendre 2 cm ou 2 grands carreaux par unité.
8. Soit a ∈ R. À quelle condition la tangente à la courbe de f au point d'abcsisse a coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
   Calculer les coordonnées du point d'intersection le cas échéant.

Fonction de récurrence pour la méthode de Newton

Pour tout x ∈ R, on pose g(x) = (2x³ + 1)/(3x² − 1).

1. Montrer que la fonction g est bien définie sur l'intervalle [1 ; 2].
   Justifier que α est son seul point fixe.
2. Justifier que la fonction g est dérivable et montrer que sa dérivée est du signe de f.
3. En déduire les variations de g puis montrer que l'intervalle [1 ; 2] est stable par g.
4. Démontrer que pour tout x ∈ [α ; 2] on a g(x) ≥ x.

Suite d'approximation

On définit alors une suite par u₀ = 1 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = g(u_n).

1. Calculer u₁ et u₂.
2. Justifier que la suite u est bornée et décroissante à partir du rang 1.
   En déduire qu'elle converge vers α.

Vitesse de convergence

1. Justifier que la dérivée de g est croissante.
2. En déduire que pour tout x ∈ [α, 2] on a 0 ≤ g′(x) ≤ 1/2.
3. En appliquant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout x ∈ [α, 2] on a 0 ≤ g(x) − α ≤ 1/2(x − α).
4. En déduire que pour tout n ∈ N^∗ on a u_n − α ≤ 1/2ⁿ.

Limites

Déterminer les variations et les limites de la fonction définie pour tout x ∈ ]−1 ; +∞[ par F(x) = x√(x² + 1)/(x + 1) en précisant ses éventuelles asymptotes.

Statistique

D'après les données de l'INSEE, la population en France métropolitaine est répartie dans les classes d'âge suivantes au premier janvier 2010 et au premier janvier 2015 selon le tableau suivant.

1. En supposant que chaque tranche d'âge est uniforme et en supposant que les effectifs des personnes de plus de 90 ans sont négligeables par rapport à l'approximation réalisée, calculer l'âge moyen en 2010 et en 2015, puis l'âge médian en France en 2015.

Système

Soit m ∈ R. Résoudre le système suivant d'inconnues réelles x et y : { mx + y = 2 ; x + my = −2. }

Inéquation

Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue x réelle : 2x/(x + 3) − 5/(3 − x) ≥ 1 .

Suite récurrente

On définit une suite par récurrence en posant u₀ = 1 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = (9u_n + 2) / (3u_n + 4).

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f : x ↦ (9x + 2) / (3x + 4).
2. Vérifier que l'intervalle R⁺ est stable par f, c'est-à-dire que pour tout x ∈ R⁺ on a f(x) ∈ R⁺.
3. En déduire que la suite (u_n) est bien définie et positive.
4. Déterminer les points fixes de f, c'est-à-dire les solutions de l'équation f(x) = x.
5. En notant α le point fixe positif de f et β son point fixe négatif, on pose pour tout n ∈ N, v_n = (u_n − α) / (u_n − β).
   Montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 3/10.
6. Calculer v₀ puis en déduire le terme général de la suite (v_n) puis celui de la suite (u_n).
7. Montrer que la suite (u_n) converge en précisant sa limite.

Équation trigonométrique

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation 2 cos²(α) + 3 sin(α) = 0.

Fonction affine et réciproque

Soit (a, b) ∈ R². Pour tout x ∈ R, on pose f(x) = ax + b.

1. En supposant a ≠ 0, montrer que la fonction f est bijective de R dans R.
2. Calculer la composée g = f ∘ f.
3. À quelle condition sur a et b la fonction g est-elle égale à l'identité sur R ?

Christophe Boilley, lycée Châtelet de Douai

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