Des cubes en écho

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J’ai rêvé cette nuit de cubes à 8 chiffres dont on ne pouvait lire que les trois premiers chiffres à gauche. Se pouvait-il que ces chiffres forment justement le nombre dont le cube était à deviner ? Et plus généralement, quels sont les entiers dont les chiffres constituent les premiers chiffres à gauche de leur cube ?

Conditions nécessaires

L’entier 0 ainsi que toutes les puissances de 10 sont clairement des solutions du problème. Mais en existe-t-il d’autres ?

En notant nN, le fait que son cube commence avec les chiffres de n s’écrit n × 10pn3 < (n + 1) × 10p, c’est-à-dire 10p/2n < (1 + 1/n) × 10p/2. Mais toute solution vérifie (1 + 1/n) ≤ 1 + 1/2n ≤ 1 + 1/(2 × 10p/2). On distingue alors deux cas selon la parité de p.

Condition suffisante

La condition énoncée dans ce deuxième cas est-elle toujours suffisante ? Avec l’approximation 10 ≈ 3,162277660168379 (le chiffre suivant fourni par Python est erroné, même avec un arrondi par excès), on peut vérifier que 32, 31 623, 316 228 et 3 162 278 par exemple sont bien des solutions du problème. Mais il se pourrait que l’inégalité sur la racine carrée soit trop large et que des nombres entiers obtenus à partir du développement décimal de 10 ne satisfassent pas la propriété recherchée.

En utilisant une inégalité analogue pour l’inverse 1/(1 + 1/n) ≤ 1 − 1/2n + 3/8n2, on trouve n/(1 + 1/n)n1/2 + 3/8nn − 0,4 dès lors que 3/8n ≤ 0,1 ⇔ n15/4. Par conséquent, dès qu’apparait un chiffre supérieur ou égal à 6 dans le développement décimal de 10, les chiffres précédents définissent un entier qui, incrémenté de 1, définit une solution au problème.

L’existence d’une infinité de solution est liée au caractère simplement normal du nombre 10 en base 10, ce qui reste une conjecture dans l’état actuel de nos connaissances.