Variations saisonnières

Principe

On relève une grandeur (température, volume de ventes, population animale...) à plusieurs moments dans le temps et on constate une évolution moyenne globale à l’aide d’une régression linéaire, mais les variations des mesures autour de cette droite semblent cycliques. On calcule alors une contribution par phase du cycle, qui peut être additive ou multiplicative.

La méthode ci-dessous est proposée dans le cas particulier où les mesures sont réalisées à intervalles réguliers. On peut l’appliquer dans le cas où les mesures sont des moyennes par phase (par exemple, des moyennes de relevés le matin, à midi et le soir le long de l’année), mais dans ce cas, on ne peut interpréter les termes correctifs.

Méthode

En notant y_i les n mesures effectuées, on commence par calculer la droite de régression par ajustement linéaire ŷ_i = at_i + b. Pour rappel, ces coefficients s’obtiennent avec les formules a = cov(t, y)/V_t) et b = ¯(y) − a¯(t), où cov(t, y) = 1/n) ∑_i t_i y_i − ¯(t) ¯(y).

On peut calculer aussi le coefficient de corrélation linéaire r = cov(t, y)/σ_t σ_y), qui permet d’accepter la corrélation si r² ≥ 0,75.

Dans le cas de variations saisonnières importantes, ce coefficient ne sera pas satisfaisant. On distingue alors deux principaux types de correction.

1. La méthode additive consiste à calculer la différence entre chaque valeur mesurée et la valeur prévue par la régression linéaire au même moment : s_i = y_i − ŷ_i. Pour chaque phase j du cycle, la moyenne de ces différences définit une correction S_j. La somme de ces corrections vaut nécessairement 0.
2. La méthode multiplicative consiste à calculer le quotient de chaque valeur mesurée par la valeur prévue par la régression linéaire : m_i = y_i/ŷ_i). On calcule de même la moyenne des coefficients par phase du cycle. Cependant, la moyenne de ces coefficients ne vaut pas forcément 1.

On ne peut comparer la pertinence de ces modèles en comparant simplement les correctifs additifs et les correctifs multiplicatifs. Une bonne manière de voir quelle méthode est plus adaptée consiste à calculer les écarts types par cycle et voir s’ils ont tendance à croître d’un cycle à l’autre.

Programmation à la calculatrice

À la calculatrice, on peut rentrer les valeurs mesurées dans une liste L1, puis lancer un programme qui effectue les étapes suivantes.

1. Calculer la dimension de la liste et demander le nombre de phases par cycle pour en déduire le nombre de cycles.

   dim(L1)→N
   Input "NB PHASES",P
   N/P→C
   

2. Calculer la droite de régression.

   RegLin(ax+b) suite(I,I,1,N),L1
   

3. Calculer les coefficients correctifs additifs

   P→dim(L2)
   For(J,1,P)
   moyenne(suite(L1(J+P∗K)−EqRég(J+P∗K),K,0,C−1))→L2(J)
   End
   

4. Calculer les coefficients correctifs multiplicatifs

   P→dim(L3)
   For(J,1,P)
   moyenne(suite(L1(J+P∗I)/EqRég(J+P∗K),K,0,C−1))→L3(J)
   End
   

5. Calculer les fonctions corrigées

   "EqRég(X)+L2(X−partEnt((X−1)/P)∗P)"→Y2
   "EqRég(X)∗L3(X−partEnt((X−1)/P)∗P)"→Y3
   

À la fin du programme, la fonction Y2 et Y3 permettent de calculer la régression corrigée avec les variations saisonnières selon les méthodes respectivement additive et multiplicative. Les listes L2 et L3 contiennent les coefficients de correction associés.