Résolution d'équation avec une inconnue numérique

Principes généraux

Avec deux membres non nuls : A(x) = B(x)
On se ramène à l'équation A(x) − B(x) = 0.
Produit nul : A(x) × B(x) = 0
L'équation est équivalente à la disjonction A(x) = 0  ou  B(x) = 0.
Avec des fractions
On les ramène au même dénominateur sans développer inutilement, puis on se rappelle qu'une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

Équation polynomiale

Premier degré : ax + b = 0
Avec a ≠ 0, l'équation se résout sous la forme x = − b/a
Second degré : ax2 + bx + c = 0
On calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac et si les trois coefficients sont réels on distingue trois cas.
  • Si Δ > 0 alors il existe deux solutions réelles −b + √Δ / 2a et −b − √Δ / 2a et aucune autre solution complexe.
  • Si Δ = 0 alors il existe une seule racine réelle (double) −b/2a et aucun autre racine complexe.
  • Si Δ < 0 alors il n'existe pas de solution réelle mais il existe deux solutions complexes conjuguées −b + i√|Δ| / 2a et −b − i√|Δ| / 2a
Avec une puissance : xn = b
Si le second membre est nul, 0 est la seule solution dans C.
Si l'inconnue est le second membre sont réels non nuls, on distingue trois cas selon la parité de n ∈ N et le signe de b.
  • Si n est pair et b strictement positif, l'équation a deux solutions réelles opposées, qui sont n√b et −n√b.
  • Si n est pair et b strictement négatif, l'équation n'a pas de solution réelle.
  • Si n est impair, l'équation a une seule solution réelle n√b qui est du même signe que b.
Si le second membre est non nul, l'équation a exactement n solutions complexes de même module n√|b| et d'argument de la forme θ + 2ikπ/n avec 0 ≤ k < n et θ = arg(b).
Avec seulement deux monômes axn + bxp
Si a ≠ 0, et n > p > 0, on le factorise sous la forme P = aXp (Xn−p + b/a)

Équation trigonométrique