Méthodes de calcul de la limite d’une suite réelle

Suites de référence

Règles de calcul

Somme
(+∞) + (+∞) = +∞  et pour tout LR, (+∞) + L = +∞.
(−∞) + (−∞) = −∞  et pour tout LR, (−∞) + L = −∞.
Pas d’addition de +∞ et −∞.
Produit
∞ × ∞ = ∞  et pour tout LR*, ∞ × L = ∞  avec la règle des signes.
Pas de multiplication de 0 par .
Inverse
1/ = 0 ; 1/0+ = +∞ ; 1/0 = −∞
Quotient
Pas de division de 0 par 0.
Pas de division de l’infini par l’infini.
Puissance
Pas de d’exposant infini avec une base 1.
Composée
Si limn→+∞ un = a et limxa f(x) = L alors limn→+∞ f(un) = L.

Comparaison et encadrement

Si pour tout nN à partir d’un certain rang on a unvn et si limn→+∞ un = +∞ alors limn→+∞ vn = +∞.

Si pour tout nN à partir d’un certain rang on a unvn et si limn→+∞ vn = −∞ alors limn→+∞ un = −∞.

Si pour tout nN à partir d’un certain rang on a unvnwn et si u et w convergent avec la même limite alors la suite v converge aussi avec la même limite.

Avec une fonction de récurrence continue

S’il existe une fonction f continue sur un intervalle I stable par f telle que pour tout nN à partir d’une certain rang on a un+1 = f(un) avec upI et si la suite u converge alors sa limite est un point fixe de f ou une extrémité ouverte de I.

Suite négligeable

On a l’équivalence un = on→+∞ (1)  ⟺ limn→+∞ un = 0.

Une limite peut donc éventuellement se calculer à partir d’un développement limité, notamment pour une somme algébrique.

Équivalent

Si un n→+∞ vn alors limn→+∞ un = limn→+∞ vn si ces limites existent.

Une limite peut donc se calculer à partir d’un équivalent, notamment pour un produit ou un quotient.

Somme de Riemann

S’il existe une fonction f définie et continue sur [0 ; 1] telle que pour tout nN on ait un = 1/n k=0n−1 f(k/n) ou un = 1/n k=1n f(k/n) alors limn→+∞ un = 01 f(t) dt.